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Teorema de Fubini

Cálculo Diferencial e Integral II
Taguspark,

IST

Ficha 1 — $\mathbb{R}^n$

  1. Determina a equação de uma esfera centrada em $(1,2,-1)$ e de raio $3$.
  2. Determine o centro e o raio da esfera definida por $x^2-4x+y^2+2y+z^2=31$.
  3. Determine a equação da superfície em $\mathbb{R}^3$ formada por todos os segmentos de recta unindo o ponto $(1,1,1)$ aos pontos da circunferência centrada em $(1,1,0)$ e de raio $1$ contida no plano $z=0$.
    Solução

    Apresentam-se duas soluções. A primeira é o que mais tarde designaremos por representação paramétrica e outra por representação implícita. São análogos respectivamente a descrever um plano em $\mathbb{R}^3$ via combinações lineares de 2 vectores ou como formado pelos vectores ortogonais à sua normal.

    Representação paramétrica

    Começamos por descrever os pontos sobre a circunferência de raio $1$ centrada em $(1,1,0)$ e contida no plano $z=0$ via \[\begin{cases}x=1+\cos\theta, \\ y=1+\sen\theta, \\ z=0\end{cases}\] com $\theta\in [0,2\pi]$. Tal equivale a considerar a considerar a circunferência como o contradomínio da função $[0,2\pi]\ni \theta \mapsto (1+\cos\theta, 1+\sen\theta, 0)$.

    Para agora obtermos o conjunto pretendido basta descrever cada um dos segmentos de recta unindo um ponto da circunferência ao ponto $(1,1,1)$. Tal pode ser feito considerando uma aplicação $[0,1]\ni t\mapsto (1,1,1)+t((1+\cos\theta, 1+\sen\theta,0)-(1,1,1))$.

    Obtemos assim uma descrição da superfície através do contradomínio da aplicação $[0,1]\times[0,2\pi]\ni (t,\theta)\mapsto (1,1,1)+t((1+\cos\theta, 1+\sen\theta,0)-(1,1,1))$.

    Representação implícita

    A superfície trata-se de parte de uma superfície cónica com vértice em $(1,1,1)$ e eixo de simetria na direcção do vector $(0,0,1)$. Tal superfície pode ser obtida transladando a porção de superfície cónica definida por $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ e $x^2+y^2\leq 1$ de $(0,0,0)$ para $(1,1,1)$ obtendo-se \[z-1=-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}, \text{ com } (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1.\]

  4. Mostre que dada uma qualquer bola em $\mathbb{R}^n$ existe uma bola centrada em $\boldsymbol{0}$ que a contém.
  5. Determine a equação da elipse $x^2+4y^2=2$ após uma rotação de $\pi/3$ no sentido directo em torno de $(0,0)$.
    Solução

    A elipse é caracterizada por uma equação da forma $F(x,y)=0$ em que $F(x, y)=x^2+ 4y^2-2$.

    Designemos por $T$ a transformação linear que corresponde a uma rotação de $\pi/3$ em torno de $(0,0)$. Sabemos que esta transformação linear é representada pela matriz \[\begin{bmatrix}\cos(\pi/3) & -\operatorname{sen}(\pi/3) \\ \operatorname{sen}(\pi/3)  & \cos(\pi/3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix},\] isto é, \[T(x,y)=\left( \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y ,   \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2}y\right).\]

    A equação $F(x,y)=(0,0)$ é equivalente a $F(T^{-1}(T(x,y)))=(0,0)$ pelo que os pontos $(u,v)=T(x,y)$ que se obtêm por rotação de $\pi/3$ são soluções de $F(T^{-1}(u,v))=(0,0)$. Ora \[T^{-1}(u,v)=\left(\frac{1}{2} u +\frac{\sqrt{3}}{2} v ,  -\frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2} v\right)\] pelo que a equação da elipse (designando as coordenadas por $u$ e $v$) após uma rotação de $\pi/3$ é \[\left( \frac{1}{2}u +\frac{\sqrt{3}}{2}v\right)^2+ 4 \left(- \frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2} v\right)^2 - 2=0.\]

  6. Determine a distância do plano $x+y+z=1$ a $(0,0,0)$.
    Solução

    Sabemos que a distância de um ponto $\boldsymbol{v}$ a um subespaço é a norma de $\boldsymbol{v}-P\boldsymbol{v}$ em que $P$ designa a projecção no subespaço. Isto leva-nos a suspeitar (transladando o subespaço afim $x+y+z=1$ para o subespaço $x+y+z=0$) que é o comprimento de um segmento de recta unindo a origem ao hiperplano afim $x+y+z=1$ e ortogonal a este. Os vectores ortogonais aos hiperplanos mencionados têm a forma $(\lambda, \lambda, \lambda)$ para algum $\lambda\in\mathbb{R}$. O vector desta forma com afixo sobre o hiperplano afim $x+y+z=1$ é $(1/3,1/3,1/3)$. Este ponto está a uma distância $\sqrt{3}/3$ da origem.

    Pode verificar explicitamente a afirmação anterior. Seja $(x,y,z)$ um ponto sobre o hiperplano $x+y+z=1$. Então \[x^2+y^2+z^2= x^2+y^2+(1-x-y)^2 = \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(1-x-y-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3}.\] O mínimo do lado direito da igualdade anterior ocorre quando todas as respectivas parcelas quadráticas forem nulas.

  7. Determine a distância do hiperplano $\sum_{i=1}^n x_i=1$ a $\boldsymbol{0}$ em $\mathbb{R}^n$.
  8. Determine a equação da superfície que se obtém rodando a linha definida por $z=x^3, y=0$ em torno do eixo dos $z$s.
  9. Decida se existem ou não subconjuntos disjuntos e não vazios de $\mathbb{R}^n$ a distância $0$ e cujas restrições a uma qualquer bola estejam a uma distância positiva entre si.
  10. Determine a equação de um parabolóide que se obtém por rotação em torno de $(0,0,0)$ do parabolóide $z=x^2+y^2$ de maneira ao seu eixo de simetria ter a direcção do vector $(1,1,1)$ e estar contido no semi-espaço $x+y+z\gt 0$.
    Sugestão

    Veja a equação do parabolóide no texto considerando $\alpha=1$ e $\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.

  11. Seja $\boldsymbol{x}=(x_i)_{i=1,\dots,n}\in\mathbb{R}^n$ e $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ uma aplicação linear e $\Lambda$ o maior dos módulos dos valores próprios de $T$. Estabeleça:
    1. $\max_{i=1,\dots,n}\{|x_i|\} \leq \|\boldsymbol{x}\|\leq \sqrt{n} \max_{i=1,\dots,n}\{|x_i|\}$.
    2. $\|T(\boldsymbol{x})\|\leq \Lambda \|\boldsymbol{x}\|$.

Veja as páginas 1 e 2 do texto.


Última actualização: João Palhoto Matos em 19/07/2017 09:56:00.