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Teorema de Fubini

Cálculo Diferencial e Integral II
Taguspark,

IST

Ficha 3 — Topologia, continuidade, limites, integrabilidade

  1. Seja $S=B_2(0,0)\setminus B_1(0,0)\subset\mathbb{R}^2$.
    1. Determine $\operatorname{int} S$, $\operatorname{ext} S$, $\partial S$, $\overline{S}$.
    2. Classifique $S$ quanto a ser aberto, fechado, conexo ou limitado.
    3. Decida se é verdade ou não que qualquer sucessão de termos em $S$ tem subsucessões convergentes.
    4. Decida se é verdade ou não que qualquer subsucessão convergente de termos em $S$ tem limite em $S$.
    5. Mostre que não existe ou dê um exemplo de uma função contínua em $S$ e ilimitada.
    6. Mostre que não existe ou dê um exemplo de uma função $f$ contínua em $S$  verificando $f(3/2, 0)=1$, $f(-3/2, 0)=-2$ e tal que $f\neq 0$ em $S$.
  2. Considere uma função definida num subconjunto $D$ de $\mathbb{R}^3$ por \[f(x,y,z)=\frac{\sqrt{1-x^2-y^2}}{\sqrt{z}}.\]
    1. Determine o domínio $D$ de $f$.
    2. Determine $\operatorname{int} D$, $\partial D$ e $\overline{D}$ e decida se $D$ é aberto, fechado, conexo ou limitado.
    3. Decida se $f$ é ou não prolongável por continuidade a $(0,0,0)$.
    4. Decida se $f$ é ou não uma função limitada.
    Solução
    1. \[ D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1, z>0\}. \]
    2. \begin{align*} \operatorname{int} D & = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2< 1, z>0\}, \\ \partial D & = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2= 1, z\geq 0\}\\ & \qquad \cup \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1, z=0\}, \\ \overline{D} & = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1, z\geq 0\} \end{align*}

      Como $\operatorname{int} D\neq D$, $D$ não é aberto.

      Como $\overline{D}\neq D$, $D$ não é fechado.

      Ilustrando os dois tipos de pontos que formam a fronteira de D
      Ilustrando os dois tipos de pontos que formam $\partial D$. Os pontos sobre a superfície cilíndrica definida por $x^2+y^2=1$ e $z\geq 0$ (a azul) e os pontos na “base” definida por $x^2+y^2\leq 1$ e $z=0$ (a verde). Centrando uma bola (a vermelho) num qualquer destes pontos intersectamos tanto $D$ como o seu complementar.

      Como $D$ é convexo (é um cilindro de raio $1$ tendo como eixo o eixo dos $z$s limitado inferiormente pelo plano $z=0$ e não incluindo este) é, em particular, conexo.

      Como todos os pontos da forma $(0,0,k)$ com $k\in\mathbb{N}$ pertencem a $D$, $D$ não é um conjunto limitado.

    3. Como $\lim_{z\to 0} f(0,0,z)= +\infty$ concluímos que não é possível prolongar por continuidade $f$ ao ponto $(0,0,0)$.
    4. O limite calculado na alínea anterior também mostra que $f$ não é limitada.
  3. Considere uma função $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por \[g(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y}{x^2+y^2},& \text{ se } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0).\end{cases}\] Decida se:
    1. $g$ é limitada.
    2. $g$ tem limite no infinito.
    3. $g$ é contínua em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$.
    4. $g$ é contínua em $(0,0)$.
    Solução
    1. Temos, para todo o $x\in\mathbb{R}$, $|\operatorname{sen}x|\leq |x|$ donde \[ |g(x,y)|\leq \frac{|x||y|}{x^2+y^2}\leq 1.\] pelo que $g$ é limitada.
    2. Temos, para todo o $x\in\mathbb{R}$, $|\operatorname{sen}x|\leq 1$ donde \[ |g(x,y)|\leq \frac{1}{x^2+y^2}.\] Como $\lim_{(x,y)\to \infty}\frac{1}{x^2+y^2}=0$ concluímos que $\lim_{(x,y)\to \infty}g(x,y)=0$.
    3. A continuidade em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ segue de resultados que incluem a continuidade do $\operatorname{sen}$, continuidade dos polinómios, continuidade do produto, continuidade da composta e continuidade do quociente. [Se se surpreender de ver a continuidade da função composta na lista de resultados invocados note que $(x,y)\mapsto \operatorname{sen} x$ pode ser considerado como a composição $(x,y)\mapsto x = u\mapsto \operatorname{sen}u$.]
    4. Considerando a restrição de $g$ à recta $y=x$ obtemos $g(x,x)=\frac{\operatorname{sen}^2 x}{2x^2}$ pelo que $\displaystyle\lim_{\overset{y=x}{ (x,y)\to(0,0) }}g(x,y)=\frac{1}{2}\neq 0 = g(0,0)$, pelo que $g$ não é contínua em $(0,0)$.
  4. Seja $A\subset\mathbb{R}^n$ tal que $\emptyset\neq A\neq\mathbb{R}^n$. Justifique que $\partial A$ é um conjunto não vazio.
  5. Considere a função $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definida por $h(x,y)=x^2y^2-y^3-x^3+xy$.
    1. Decida se $h$ é ou não uma função majorada.
    2. Decida se $h$ é ou não uma função minorada.
    3. Mostre que $h$ possui um extremo local no interior do conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\geq x^2, x\geq y^2\}$.
    Solução
    1. Observando que, para todo o $x\in\mathbb{R}$, se tem $h(x,0)=-x^3$, é imediato \[\lim_{x\to -\infty}h(x,0)=+\infty.\] Então, $h$ não é majorada.
    2. Tal como na alínea a., \[\lim_{x\to+\infty}h(x,0)=-\infty,\] o que mostra que $h$ não é minorada.
    3. Seja $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\geq x^2, x\geq y^2\}$. Como $A$ é conjunto limitado e fechado e $h$ é função contínua em $\mathbb{R^2}$, o Teorema de Weierstrass garante que $h$ tem máximo e mínimo em $A$. Uma vez que \[h(x,y)=x^2(y^2-x)+y(x-y^2)=(x-y^2)(y-x^2),\] reconhece-se que $h(x,y)=0$ se $(x,y)\in\partial A$ e $h(x,y)>0$ se $(x,y)\in\operatorname{int}A$. Assim, o ponto de máximo de $h$ em $A$ é ponto do interior de $A$.
  6. Decida se a função $F$ definida em $\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}$ por \[F(x,y,z)=\frac{xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] é ou não prolongável por continuidade a $(0,0,0)$.

  7. Considere uma função $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definida por \[h(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2\sen^2 y}{x^2+4y^2}, & \text{ se $(x,y)\neq(0,0)$,} \\ 0, & \text{ se $(x,y)=(0,0)$.}\end{cases}\]

    Justifique que o contradomínio da restrição de $h$ a uma qualquer bola fechada centrada em $(0,0)$ é um intervalo da forma $[0,\alpha]$ com $\alpha\in {]0,1]}$.

    Solução

    Uma bola fechada é um conjunto convexo, logo conexo, e é um conjunto limitado e fechado.

    Os resultados sobre continuidade da função composta, continuidade da função $\sen$, continuidade dos polinómios, continuidade do produto e continuidade do quoaciente estabelecem que $h$ é contínua em $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$.

    A estimativa \[\frac{x^2\sen^2 y}{x^2+4y^2}\leq \frac{x^2}{x^2+4y^2}y^2\leq {y^2} \leq x^2+y^2\] permite estabelecer, através da definição de continuidade, que $h$ é contínua em $(0,0)$.

    Como $h$ é contínua em $\mathbb{R}^2$, os teoremas do valor intermédio e de Weierstrass garantem que o contradomínio será um conexo limitado e fechado de $\mathbb{R}$, logo um intervalo limitado e fechado. Como \[ 0\leq h(x,y) \leq \frac{x^2}{x^2+4y^2}\leq 1 \] e $h(0,0)=0$, o contradomínio será um intervalo da forma indicada.

  8. Considere uma função $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por \[G(x,y)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{k\to +\infty}\operatorname{sen}^{2k}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right), & \text{ se } (x,y)\neq (0,0), \\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0). \end{cases}\]

    1. Decida em que pontos é que $G$ é contínua.
    2. Decida se a função $G$ é integrável em $[-1,1]^2$.
    Solução

    Temos

    \[\lim_{k\to +\infty}\operatorname{sen}^{2k}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)=\begin{cases}0, & \text{ se } x^2+y^2\neq \frac{2}{\pi+2 n\pi} \forall_{n\in\mathbb{N}}, \\ 1, & \text{ caso contrário.}\end{cases}\]

    Tal permite reconhecer que $G$ é limitada e que os seus pontos de descontinuidade são a origem e os pontos nas circunferências centradas em $(0,0)$ e de raio $\sqrt{\frac{2}{\pi+2n\pi}}$.

    A origem é um conjunto com medida nula (decorre trivialmente da definição de medida nula).

    Para um certo $n\in\mathbb{N}$, a circunferência é a união de duas semicircunferências de equações $y=\pm \sqrt{\frac{2}{\pi+2n\pi}-x^2}$. Cada uma das semicircunferências é um gráfico de uma função contínua definida em $\left[-\sqrt{\frac{2}{\pi+2n\pi}},\sqrt{\frac{2}{\pi+2n\pi}}\right]$ com valores em $\mathbb{R}$, portanto um conjunto de medida bidimensional nula. Sendo a união de dois conjuntos com medida bidimensional nula, cada circunferência é um conjunto com medida bidimensional nula. A união de todas as circunferências com as equações que determinámos é uma união numerável de conjuntos com medida nula, logo também tem medida nula. Finalmente a união deste último conjunto com $\{(0,0)\}$ também terá medida nula.

    Portanto o conjunto de pontos de descontinuidade de $G$ tem medida nula, $G$ está definida num intervalo e é limitada. Logo $G$ é integrável.

  9. Determine o contradomínio da função $\psi$ definida por $\psi(x,y)=\sqrt{\arctg(x^2+4y^2)}$, e identifique e classifique os seus pontos de extremo se existirem.
    Solução
    Temos $\psi= \phi\circ \theta$ em que $\phi:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ é definida por $\phi(t)=\sqrt{\arctg t}$ e $\theta(x,y)=x^2+ 4y^2$. Temos que $\theta(0,0)=0$, $\theta\geq 0$, $\lim_{(x,y)\to \infty}\theta(x,y)=+\infty$ (pois $x^2+ 4y^2\geq x^2+y^2$), e $\theta$ é contínua. Portanto o contradomínio de $\theta$ é, pelo teorema do valor intermédio, $[0,+\infty[$. Daí decorre que o contradomínio de $\psi$ é $\left[0,\sqrt{\pi/2}\right[$ graças a propriedades conhecidas das funções $\arctg$ e raiz quadrada. A função possui $0$ como mínimo absoluto ocorrendo em $(0,0)$.
  10. Seja $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que $h(0)=1$ e é nula numa vizinhança de $1$. Mostre que a função $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por \[G(x,y)=\int_{x^2+y^2}^{xy+x+y+1}h(t)\, dt\] possui um máximo local em $(0,0)$.

Veja as páginas 6, 7, 8, 9 e 10 do texto.


Última actualização: João Palhoto Matos em 17/07/2017 17:40:42.