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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Diferenciabilidade

O cálculo diferencial de funções de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\) organiza-se de maneira e estender o que conhecí­amos para funções reais de variável real. Esta extensão no entanto não é inspirada pela consideração de diferenciabilidade relativamente a cada uma das variáveis escalares (derivadas parciais) mas através do reencarar da diferenciabilidade como a possibilidade de realizar uma aproximação local linear que satisfaz uma condição envolvendo um limite em \(\mathbb{R}^n\).

Introdução, definição de diferenciabilidade, primeiras propriedades

Uma perspectiva possí­vel para organizar o cálculo diferencial de funções de mais de uma variável real seria, ingenuamente, estudar as funções que se obtêm considerando todas as variáveis menos uma fixas. Isto corresponde a considerar a existência de derivadas parciais.

Definição (derivada parcial). Seja \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e \(\boldsymbol{x}_0\in A\). Dizemos que \(F\) possui derivada parcial em ordem à variável $x_j$ no ponto $\boldsymbol{x}_0$, \(\frac{\partial F}{\partial x_j}(\boldsymbol{x}_0)\), se existir (e for finito) o limite \[\lim_{\lambda\to 0} \frac{F(\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{e}_j)-F(\boldsymbol{x}_0)}{\lambda}.\] onde \(\boldsymbol{e}_j\) designa o \(j\)-ésimo vector da base canónica de \(\mathbb{R}^n\), isto é um vector cuja \(j\)-ésima coordenada é \(1\) e as restantes \(0\). Nesse caso a derivada parcial fica definida como o valor do limite.

Facilmente percebemos que a definição anterior é equivalente a calcular o vector cujas coordenadas são as derivadas de cada uma das funções reais de variável real \(\lambda \mapsto F_i(x_{01},\dots,x_{0j-1},\lambda,x_{0j+1},\dots,x_{0n})\) com \(i=1,\dots,m\), \(i=j,\dots,n\) o que torna o cálculo de derivadas parciais redutí­vel ao cálculo de derivadas como já as conhecíamos.

Esta ideia peca por não garantir as propriedades que já nos habituámos a esperar da diferenciabilidade. Considere-se \(H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[H(x,y)=\begin{cases}0, & \text{ se } x\neq 0 \text{ e } y\neq 0, \\ 1, & \text{ se } x= 0 \text{ ou } y=0.\end{cases}\] Facilmente se verifica que \(H\) não é contínua em \((0,0)\) e possui ambas as derivadas parciais nulas em \((0,0)\). Portanto a existência de derivadas parciais num ponto não garante a continuidade nesse ponto.

Tentar remediar a limitação anterior via a análise de limites de razões incrementais noutras direcções que não as paralelas aos eixos coordenados também não é por si só suficiente. Podemos formalizar o conceito correspondente via

Definição (derivada segundo um vector, derivada dirigida, derivada direccional). Seja \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), \(\boldsymbol{x}_0\in A\) e \(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}\). Dizemos que \(F\) possui derivada dirigida ou segundo o vector \(\boldsymbol{v}\) em \(\boldsymbol{x}_0\), \(D_{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{x}_0)\), se existir o limite \[\lim_{\lambda\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{v}) - F(\boldsymbol{x}_0)}{\lambda}.\] Nesse caso a derivada dirigida fica definida como o valor do limite. Se o vector for unitário falamos de derivada direccional.

Alterando a geometria do exemplo anterior obtemos um exemplo simples de uma função que possui num ponto todas as derivadas dirigidas mas não é contí­nua. De facto seja \(G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[G(x,y)=\begin{cases}1, & \text{ se } y=x^2 \text{ e } (x,y)\neq (0,0), \\ 0, & \text{ caso contrário.}\end{cases}\]

Se considerarmos \((0,0)\) e qualquer \(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^n\), a razão incremental de que necessitamos de calcular o limite só é não nula no máximo num único ponto (correspondente à intersecção da recta definida por \((0,0)\) e \(\boldsymbol{v}\) com a parábola \(y=x^2\)) e consequentemente \(D_\boldsymbol{v}G(0,0)=0\) para todo o \(\boldsymbol{v}\). No entanto \(G\) não é contínua em \((0,0)\) pois em qualquer bola centrada em \((0,0)\) existem pontos onde \(G\) vale \(1\) e outros onde vale \(0\).

Podemos inclusivamente dar um exemplo de uma função \(F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) contínua em \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), não contínua em \((0,0)\) e que possui todas as derivadas dirigidas em \((0,0)\), recorrendo a um exemplo já conhecido. Seja então\[F(x,y)=\begin{cases}\frac{x y^2}{x^2+y^4}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0), \\ 0, & \text{ caso contrário.}\end{cases}\] Já vimos que \(F\) não é contínua em \((0,0)\) (recorrendo, por exemplo, aos valores de \(F\) sobre as parábolas \(x=\pm y^2\)). Se \((u,v)\neq (0,0)\) consideremos então\[D_{(u,v)}F(0,0)=\lim_{\lambda\to 0}\frac{F(\lambda u, \lambda v)}{\lambda}=\lim_{\lambda\to 0}\frac{\lambda^3 u v^2}{\lambda(\lambda^2 u^2+\lambda^4 v^4)}=\begin{cases}\frac{v^2}{u}, & \text{ se } u\neq 0, \\ 0, & \text{ se } u= 0.\end{cases}\]

Ficamos assim cientes que a mera existência de derivadas dirigidas não possibilita o desenvolvimento de uma teoria de cálculo diferencial de alguma forma análoga à que conhecí­amos para funções reais de variável real. Isto não quer dizer que os conceitos de derivadas parciais ou segundo um vector não sejam importantes mas sim que o conceito de diferenciabilidade deverá ter um carácter que, de alguma forma, não se restrinja ao de taxas de variação em certas direcções. A perspectiva que cumpre esse desí­gnio corresponde a considerar a diferenciabilidade como a possibilidade de garantir uma aproximação com carácter linear para uma função na vizinhança de um ponto sendo essa garantia formalizada via um limite em \(\mathbb{R}^n\).

Definição (Diferenciabilidade). Seja \(F:S\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) e \(\boldsymbol{x}\in \operatorname{int} S\). Dizemos que \(F\) é diferenciável em \(\boldsymbol{x}\) se existir uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) tal que\[\lim_{\boldsymbol{h}\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-F(\boldsymbol{x})-T(\boldsymbol{h})}{\|\boldsymbol{h}\|}= \boldsymbol{0}.\]

Note que:

  • Só discutimos diferenciabilidade em pontos interiores ao domí­nio de uma função.
  • No caso de \(m=n=1\), funções reais de variável real, a condição na definição equivale à existência de derivada finita num ponto interior ao domí­nio. (Verifique, relembrando que as aplicações lineares de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\) são os produtos por números reais).

Proposição. (Diferenciabilidade das constantes). As funções constantes num aberto são diferenciáveis tendo como derivada a aplicação linear nula.

Demonstração. Podemos considerar \(T\) como a aplicação linear nula. Fim de demonstração.

Proposição (Diferenciabilidade das aplicações lineares). As aplicações lineares são diferenciáveis tendo como derivada a mesma aplicação linear.

Demonstração. Podemos considerar \(T\) como sendo a própria função. Fim de demonstração.

Neste contexto a que é que chamamos derivada de \(F\) no ponto \(\boldsymbol{x}\)? Vai ser à aplicação \(T\) na definição de diferenciabilidade, algo que não é ambí­guo devido a

Proposição. A aplicação linear \(T\) na definição de diferenciabilidade se existir é única.

Demonstração. Suponhamos que duas aplicações lineares distintas \(T_1\) e \(T_2\) satisfaziam a condição na definição de diferenciabilidade. Há-de existir algum vector \(\boldsymbol{u}\in \mathbb{R}^n\) tal que \(T_1(\boldsymbol{u})\neq T_2(\boldsymbol{u})\). Mas devemos ter, por restrição do domí­nio ao tomarmos o limite, \[\lim_{\lambda\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{u})-F(\boldsymbol{x})-T_1(\lambda\boldsymbol{u})}{\|\lambda\boldsymbol{u}\|}=\lim_{\lambda\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{u})-F(\boldsymbol{x})-T_2(\lambda\boldsymbol{u})}{\|\lambda\boldsymbol{u}\|}=\boldsymbol{0}\] Mas então também\[\lim_{\lambda\to 0}\frac{\lambda(T_1(\boldsymbol{u})-T_2(\boldsymbol{u}))}{|\lambda|\|\boldsymbol{u}\|}=\boldsymbol{0}\] uma condição que contradiz \(T_1(\boldsymbol{u})\neq T_2(\boldsymbol{u})\). Fim da demonstração.

Definição (Derivada (total)). À transformação linear única na definição de diferenciabilidade chamamos derivada (total) de \(F\) em \(\boldsymbol{x}\), abreviadamente \(DF(\boldsymbol{x})\).

Assim a derivada duma função constante num aberto é a aplicação linear nula em qualquer ponto desse aberto e a derivada de uma aplicação linear é constante e igual à própria aplicação linear.

Note-se que \(F\) é diferenciável em \(\boldsymbol{x}\) com derivada \(DF(\boldsymbol{x})\) se e só se existir uma função \(\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{h})\) tal que \[\begin{cases} F(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})=F(\boldsymbol{x})+DF(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{h}) +\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{h}) \\  \displaystyle \lim_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol{0}}\frac{\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{h})}{\|\boldsymbol{h}\|}=\boldsymbol{0} \end{cases}\]

Tal permite-nos obter facilmente

Proposição (Diferenciabilidade implica continuidade). Se \(F\), como na definição de diferenciabilidade, for diferenciável então \(F\) é contínua.

Ideia da demonstração. Temos \(\|F(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-F(\boldsymbol{x})\| \leq \|DF(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{h}) \|+ \| \mathcal{E}_F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{h})\|\). O primeiro termo do lado direito da desigualdade é majorável por $C\|\boldsymbol{h}\|$ com $C\gt 0$. O segundo termo do lado direito tende para $0$ quando $\boldsymbol{h}\to \boldsymbol{0}$. Fim da ideia da demonstração.

Também é relativamente imediato, usando limites coordenada a coordenada e propriedades básicas das aplicações lineares, estabelecer

Proposição (Diferenciabilidade das funções vectoriais). \(F=(F_i)_{i=1,\dots, m}\) como na definição de diferenciabilidade é diferenciável num ponto se e só se cada uma das suas funções coordenadas \(F_i\) for diferenciável nesse ponto.

Restringindo o limite na definição de diferenciabilidade à recta passando por \(\boldsymbol{x}\) e com a direcção de um vector \(\boldsymbol{v}\) e comparando com a definição de derivada dirigida é possí­vel obter

Proposição (Diferenciabilidade e derivadas dirigidas). Se \(F\) como na definição de diferenciabilidade for diferenciável num ponto \(\boldsymbol{x}\) então existem todas as derivadas dirigidas de \(F\) em \(\boldsymbol{x}\) com\[D_vF(\boldsymbol{x})=DF(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{v}).\]

O resultado anterior, o facto das derivadas parciais serem casos particulares de derivadas dirigidas e a representação das aplicações lineares de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\) via matrizes reais \(m\times n\) permite obter

Proposição (Diferenciabilidade e matriz jacobiana). Se \(F\) como na definição de diferenciabilidade for diferenciável num ponto \(\boldsymbol{x}\) então \(DF(\boldsymbol{x})\) actua sobre vectores de \(\mathbb{R}^n\) via \[DF(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{h})=J_F(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{h})\] em que \(J_F(\boldsymbol{x})=\left[\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(\boldsymbol{x})\right]_{i=1,\dots,m, j=1,\dots, n}\) é a matriz jacobiana de \(F\) no ponto \(\boldsymbol{x}\).

Os vectores linha da matriz jacobiana, \(\nabla F_i(\boldsymbol{x})=\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\right)_{j=1,\dots,n}\), designam-se por vectores gradiente das coordenadas de \(F\).  Os vectores coluna, \(\frac{\partial F}{\partial x_j}=\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\right)_{i=1,\dots,m}\), correspondem às derivadas parciais de \(F\) relativamente a cada uma das variáveis .

Exemplo (Diferenciabilidade do produto). Consideremos a aplicação \(\mathbb{R}^2\ni(x,y)\mapsto xy =f(x,y)\). Pretendemos estudar a sua diferenciabilidade num ponto qualquer de \(\mathbb{R}^2\). Dado que\[\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x} & =y, \\ \frac{\partial f}{\partial y} & =x \end{align*}\] a matriz jacobiana de \(f\) é \[J_f(x,y)=\begin{bmatrix}y & x\end{bmatrix}\] A ser \(f\) diferenciável a derivada de \(f\) actuará sobre vectores de \(\mathbb{R}^2\) via \[\mathbb{R}^2\ni(h,k)\mapsto y h+x k =\nabla f(x,y)\cdot (h,k).\]

Para estudar a diferenciabilidade é então necessário considerar o limite \[\begin{gather*}\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)-\nabla f(x,y)\cdot(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\\ =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{x y+y h+k x+h k-x y-y h-k x}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.\end{gather*}\] Portanto \(f\) é diferenciável em qualquer ponto de \(\mathbb{R}^2\).

Exemplo (Significado do gradiente). Para uma função escalar diferenciável o gradiente é um vector com um significado em termos de direcção e norma muito especial. Se \(f\) for uma tal função, \(\boldsymbol{x}\) um ponto onde a função é diferenciável e \(\boldsymbol{u}\) um vector unitário de \(\mathbb{R}^n\) temos \[D_{\boldsymbol{u}}f(\boldsymbol{x})=\nabla f(\boldsymbol{x})\cdot \boldsymbol{u}.\] Recordando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e as condições a que se reduz uma igualdade temos \[\sup_{\|\boldsymbol{u}\|=1} D_{\boldsymbol{u}}f(\boldsymbol{x}) = \|\nabla f(\boldsymbol{x})\| = D_{\frac{\nabla f(\boldsymbol{x})}{\|\nabla f(\boldsymbol{x})\|}}f(\boldsymbol{x}). \] Daí que o gradiente tenha a direcção e sentido da maior "taxa de crescimento" em valor absoluto da função escalar e o valor da sua norma é essa "taxa de crescimento".

Teorema de derivação da função composta

O teorema de derivação da função composta é uma poderosa ferramenta do cálculo diferencial tanto do ponto de vista conceptual como do ponto de vista de cálculo. Generaliza o conhecido teorema de derivação da função composta para funções reais de variável real e o que conhecemos sobre composição de aplicações lineares de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\).

Teorema (Derivação da função composta). Sejam \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) e \(G:B\subset\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p\) funções tais que \(F\) é diferenciável num ponto \(\boldsymbol{x}_0\in \operatorname{int}A\) e \(G\) é diferenciável em \(F(\boldsymbol{x}_0)\in \operatorname{int}B\). Então \(G\circ F\) é diferenciável em \(\boldsymbol{x}_0\) verificando-se \[D(G\circ F)(\boldsymbol{x}_0)=DG(F(\boldsymbol{x}_0))DF(\boldsymbol{x}_0).\]

Função composta
Diagrama das convenções na demonstração do teorema de derivação da função composta

Demonstração. Comecemos por verificar que \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto interior do domí­nio de \(G\circ F\). O domínio de \(G\circ F\) é o conjunto dos pontos de \(A\) cuja imagem por \(F\) pertence a \(B\). Considere-se uma bola \(B_\epsilon(F(\boldsymbol{x}_0))\subset B\) (algo possí­vel por \(F(\boldsymbol{x}_0)\in \operatorname{int}B\)). Como \(F\) é diferenciável também é contínua e portanto existirá uma bola \(B_\delta(\boldsymbol{x}_0)\) tal que se \(\boldsymbol{x}\in B_\delta(\boldsymbol{x}_0) \cap A\) também \(F(\boldsymbol{x})\in B_\epsilon(F(\boldsymbol{x}_0))\). Como \(\boldsymbol{x}_0\in \operatorname{int}A\) existe outra bola \(B_\gamma(\boldsymbol{x}_0)\subset A\). Então, tomando \(\alpha=\min(\delta,\gamma)\), \(B_\alpha(\boldsymbol{x}_0)\subset A\) e a imagem de todos os seus pontos está em \(B\) concluindo que \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto interior do domínio de \(G\circ F\).

Passemos propriamente à verificação da diferenciabilidade de \(G\circ F\) em \(\boldsymbol{x}_0\). Seja \(\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n\), \(\|\boldsymbol{h}\|<\alpha\). Convencionamos escrever \(\boldsymbol{v}=F(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-F(\boldsymbol{x}_0)\). Então \begin{align*}& G(F(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h}))-G(F(\boldsymbol{x}_0)) \\ \qquad & =  DG(F(\boldsymbol{x}_0))(\boldsymbol{v})+\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v}) \\  \qquad & = DG(F(\boldsymbol{x}_0))(DF(\boldsymbol{x}_0)(\boldsymbol{h})+\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}))+\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v}) \\  \qquad & =  DG(F(\boldsymbol{x}_0))DF(\boldsymbol{x}_0)(\boldsymbol{h})+DG(F(\boldsymbol{x}_0))(\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}))+\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v}).\end{align*}

Para concluir a demonstração bastará mostrar que tanto \[ \begin{equation}\lim_{\boldsymbol{h}\to \boldsymbol{0}} \frac{DG(F(\boldsymbol{x}_0))(\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}))}{\|\boldsymbol{h}\|}=\boldsymbol{0} \label{eq:1}\end{equation}\] como \[\begin{equation}\lim_{\boldsymbol{h}\to\boldsymbol{0}}\frac{\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v})}{\|\boldsymbol{h}\|}=\boldsymbol{0}.\label{eq:2}\end{equation}\]

Mais detalhes

Para lidar com $(\ref{eq:1})$ basta notar que existe uma constante \(M>0\) tal que \(\|D(G(F(\boldsymbol{x}_0))(\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}))\|\leq M \|\mathcal{E}_F(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h})\|\) (relembre o argumento que estabeleceu a continuidade das aplicações lineares de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$) e usar a diferenciabilidade de \(F\) em \(\boldsymbol{x}_0\).

Para lidar com $(\ref{eq:2})$ nota-se que \[\frac{\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v})}{\|\boldsymbol{h}\|}=\begin{cases}\frac{\mathcal{E}_G(F(\boldsymbol{x}_0);\boldsymbol{v})}{\|\boldsymbol{v}\|}\frac{\|\boldsymbol{v}\|}{\|\boldsymbol{h}\|}, & \text{ se } \boldsymbol{v}\neq \boldsymbol{0}, \\ \boldsymbol{0}, & \text{ se } \boldsymbol{v}= \boldsymbol{0},\end{cases}\] que \(\frac{\|\boldsymbol{v}\|}{\|\boldsymbol{h}\|}\) é limitada numa vizinhança de \(\boldsymbol{0}\), que \(\boldsymbol{v}\to \boldsymbol{0}\) quando \(\boldsymbol{h}\to \boldsymbol{0}\) e usa-se a diferenciabilidade de \(G\).

Fim da demonstração.

Diferenciabilidade do produto, quociente,...

Vamos usar o teorema de derivação da função composta e resultados conhecidos para garantir a diferenciabilidade e calcular a derivada do produto de duas funções escalares diferenciáveis. Sejam então \(f,g:S\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) duas funções diferenciáveis num ponto \(\boldsymbol{x}\in S\) e seja \(h:S\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) definida por \(h(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})g(\boldsymbol{x})\). Notamos que \(h=p\circ \psi\) em que \(\psi:S\to\mathbb{R}^2\) é definida por \(\psi(\boldsymbol{x})=(f(\boldsymbol{x}), g(\boldsymbol{x}))\) e \(p:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) é definida por \(p(u,v)=uv\). Temos que \(\psi\) é diferenciável pois cada uma das suas funções coordenadas é diferenciável e podemos justificar que \(p\) com os cálculos já usados num exemplo anterior. O teorema de derivação da função composta garante a diferenciabilidade de \(h\). Notamos que \[J_\psi(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix}\nabla f(\boldsymbol{x}) \\ \nabla g(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix}\] e \[J_p(u,v)= \begin{bmatrix} v & u \end{bmatrix}\] pelo que \[J_h(\boldsymbol{x})=J_p(\psi(\boldsymbol{x})) J_\psi(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} g(\boldsymbol{x}) & f(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\nabla f(\boldsymbol{x}) \\ \nabla g(\boldsymbol{x}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}g(\boldsymbol{x}) \nabla f (\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{x}) \nabla g (\boldsymbol{x})\end{bmatrix} \] o que constitui uma generalização da regra de derivação do produto que abreviaremos \(\nabla(fg)=g\nabla f + f\nabla g\).

Note-se que assim podemos justificar a diferenciabilidade de polinómios de várias variáveis já que estes se podem exprimir como somas e produtos finitos de constantes (que são funções diferenciáveis) por coordenadas (que são diferenciáveis por serem um caso particular de aplicações lineares). Da diferenciabilidade do inverso algébrico e da observação anterior pode deduzir-se a diferenciabilidade dos quocientes entre polinómios de várias variáveis (funções racionais) nos pontos do seu domínio (os que não anulam o denominador), ou a diferenciabilidade de um quociente de funções diferenciáveis em geral. Juntamente com o que já conhecíamos de diferenciabilidade de funções reais de variável real ficamos com um leque extraordinariamente vasto de funções cuja diferenciabilidade pode ser afirmada com extrema facilidade. Tal não impede que por vezes tenhamos que estudar a diferenciabilidade de uma função usando directamente a definição de diferenciabilidade.

Exemplos

Muitas vezes usaremos o teorema de derivação da função composta para relacionar as derivadas parciais de duas funções. 

Exemplo. Seja \(F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) diferenciável em \(\mathbb{R}^2\) e definimos \(G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) via \[G(x,y)=F(xy, x^2-y^2).\] O teorema de derivação da função composta juntamente com a diferenciabilidade de polinómios garante a diferenciabilidade de \(G\) e \[J_G(x,y)=J_F(xy, x^2-y^2)\begin{bmatrix}y & x \\ 2x & -2y\end{bmatrix}\] pelo que \[\begin{align*}\frac{\partial G}{\partial x} & =  y\; D_1F(xy, x^2-y^2)  + 2x\; D_2F(xy, x^2-y^2)  \\ \frac{\partial G}{\partial y} & =  x\; D_1F(xy, x^2-y^2) - 2y\; D_2F(xy, x^2-y^2) \end{align*}\]

[Note-se a notação usada para as derivadas parciais de \(F\) de maneira a evitar "baptizar" as respectivas variáveis independentes.]

Exemplo. Considere-se a aplicação \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) que transforma coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas, via \[T(\rho,\theta,\phi)=(\rho\cos \theta \operatorname{sen}\phi,\rho\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}\phi,\rho\cos\phi).\] Note-se que a aplicação como descrita não é injectiva e é usual restringir tanto quanto possí­vel o domí­nio de maneira ao conjunto em que a injectividade falha ser "pequeno" mas mantendo sobrejectividade. Uma restrição possí­vel comum é considerar \((\rho,\theta,\phi)\in {[0,+\infty[}\times{[0,2\pi[}\times{[0,\pi]}\). Dessa forma a função ainda não é injectiva visto, por exemplo, \(T(0,\theta,\phi)=(0,0,0)\) para todos os \((\theta,\phi)\).

Coordenadas esféricas

Se uma grandeza for descrita em coordenadas cartesianas por uma uma função \(F:A\subset\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\), a mesma grandeza será descrita em coordenadas esféricas por \(F\circ T\), ou seja por \((\rho,\theta,\phi)\mapsto G(\rho,\theta,\phi)=F\circ T (\rho,\theta,\phi)=F(\rho\cos \theta \operatorname{sen}\phi,\rho\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}\phi,\rho\cos\phi)\). Supondo \(A\) aberto e \(F\) diferenciável também \(G\) será diferenciável e \[DG(\rho,\theta,\phi)=DF(T(\rho,\theta,\phi))DT(\rho,\theta,\phi)\] que explicitada nos permite obter relações entre as derivadas parciais de \(G\) e \(F\) tais como \[\frac{\partial G}{\partial \rho}= \cos\theta \operatorname{sen}\phi \frac{\partial F}{\partial x}+ \operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \frac{\partial F}{\partial y} + \cos\phi  \frac{\partial F}{\partial z}\]

[Obtenha as restantes!]

Exemplo. Considere uma função \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to B\subset\mathbb{R}^n\) com \(A\) aberto uma bijecção diferenciável cuja inversa, \(F^{-1}\), também é diferenciável (o facto da inversa ser diferenciável não é um dado adquirido, algo que é óbvio se nos recordarmos de \(x\mapsto x^3\)). Então \(F^{-1}\circ F(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\) para todo o \(\boldsymbol{x}\in A\). Diferenciando esta igualdade obtemos \[DF^{-1}(F(\boldsymbol{x}))DF(\boldsymbol{x})=I\] em que \(I\) designa a aplicação linear identidade. Daí­ que \[DF^{-1}(F(\boldsymbol{x}))=DF(\boldsymbol{x})^{-1}.\] Em particular, nestas condições, a derivada de \(F\) é não singular, sendo portanto o determinante da respectiva matriz jacobiana não nulo. Voltaremos a estas questões e cálculos quando discutirmos o teorema da função inversa.

Exemplo. Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) uma função diferenciável e \(c\in \mathbb{R}\) um valor no seu contradomí­nio. Consideremos o conjunto de nível de \(f\) relativamente ao valor \(c\), \[N_f(c)=\{\boldsymbol{x}\in A: f(\boldsymbol{x})=c\}.\] Seja \(\boldsymbol{r}:\;]0,1[\;\to N_f(c)\) uma função diferenciável. À função \(r\) chamaremos um caminho no conjunto de nível \(N_f(c)\). A derivada de \(r\), que abreviaremos \(r'\), pode ser identificada com um vector em \(\mathbb{R}^n\). Este vector terá uma direcção tangente a \(N_f(c)\). Notamos que \[f(\boldsymbol{r}(t))=c\] para todo o \(t\in \;]0,1[\) pelo que, usando o teorema de derivação da função composta, \[\nabla f(\boldsymbol{r}(t))\cdot \boldsymbol{r}'(t)=0\] para todo o \(t\in \;]0,1[\). Interpretamos esta igualdade como estabelecendo a ortogonalidade entre o gradiente e os conjuntos de nível da função. Voltaremos a este assunto quando estudarmos o espaço tangente e o espaço normal a uma variedade e problemas de extremos condicionados.

Exemplo. Seja $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por \[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0),\\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0).\end{cases}\] No complementar da origem é fácil estabelecer a diferenciabilidade da função. No entanto, em $(0,0)$ o único método ao nosso dispor é usar a definição de diferenciabilidade. Como a função é identicamente nula sobre os eixos coordenados temos $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Portanto, a ser $f$ diferenciável em $(0,0)$, a sua derivada aí será a aplicação linear nula. Assim estudar a diferenciabilidade em $(0,0)$ corresponde a estudar o limite \[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-x\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) - y\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{(x^2+y^2)^{1/2}}=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.\] Que o limite existe e vale $0$ decorre da estimativa \[0 \leq \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\sqrt{x^2+y^2}.\] Portanto $f$ é também diferenciável em $(0,0)$ tendo nesse ponto derivada nula.


Última actualização: João Palhoto Matos em 02/07/2019 11:30:13.