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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Diferenciabilidade

Teorema de Lagrange

Em secções anteriores relativas a funções de classe $C^k$ usámos o teorema de Lagrange para estimar diferenças de valores de uma função entre dois pontos distintos. Neste caso os dois pontos só se distinguiam numa coordenada o que permitiu usar o teorema conhecido para funções reais de variável real. Realizar estimativas para diferenças de valores de funções em pontos distintos à custa de um produto entre a "distância" entre os pontos e um majorante de uma quantidade que só depende da derivada da função num conjunto conveniente é um tema recorrente em Análise Matemática. Vamos generalizar o teorema de Lagrange de maneira a tornar possível essa e outras aplicações.

Começamos com o caso de funções escalares. Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) uma função diferenciável definida num aberto \(A\). Sejam \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\) tais que o segmento de recta unindo \(\boldsymbol{x}\) a \(\boldsymbol{y}\) está contido em \(A\), isto é, \[L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\equiv \{\boldsymbol{x}+t(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}): t\in[0,1]\}\subset A.\] Definindo \(g(t)=f(\boldsymbol{x}+t(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\) temos, por aplicação do teorema de Lagrange a \(g\), que para algum \(\theta\in\;]0,1[\), \(f(\boldsymbol{y})-f(\boldsymbol{x})=g(1)-g(0)=g'(\theta)=\nabla f(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\cdot(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\) em que na última igualdade usámos o teorema de derivação da função composta. Obtivemos assim

Teorema do valor médio (ou de Lagrange) para funções escalares. Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) uma função diferenciável definida num aberto \(A\) e \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\) tais que o segmento de recta \(L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\) unindo \(\boldsymbol{x}\) a \(\boldsymbol{y}\) está contido em \(A\). Então existe \(\theta\in\;]0,1[\) tal que \[f(\boldsymbol{y})-f(\boldsymbol{x})=\nabla f(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\cdot(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}).\]

Hipóteses mínimas

Notamos que as nossas hipóteses são ligeiramente em excesso do mí­nimo estritamente necessário para obter um análogo do teorema de Lagrange. Bastaria supor que \(f\) era contí­nua no segmento \(L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\) e que possuía derivada dirigida \(D_{\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}}f\) em todos os pontos do segmento, excepto possivelmente nos extremos, para podermos estabelecer um análogo do teorema.

Para funções vectoriais primeiro notamos que a formulação de Lagrange tendo como conclusão uma igualdade similar à do caso escalar não é possível.

Exemplo. Considere-se a função \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) definida por \(F(t)=(\cos t, \sin t)\). A derivada de \(F\) num ponto \(t\) é a aplicação linear \(\mathbb{R}\ni \lambda \mapsto \lambda(\sin t, \cos t)\) e que simplesmente identificamos com o vector \((\sin t, \cos t)\). Este vector tem sempre norma \(1\). Portanto temos \(F(2\pi)-F(0)=(0,0)\neq 2\pi(\sin \theta, \cos \theta)=DF(\theta)(2\pi)\) para todo o \(\theta\in \left]0,2\pi\right[\).

Vamos então concentrar-nos em formulações alternativas que permitem estabelecer o tipo de estimativas em que estamos interessados. Começamos por estabelecê-las no caso escalar. Do teorema e da desigualdade de Cauchy-Schwarz obtém-se facilmente:

Corolário. Seja \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) uma função diferenciável definida num aberto \(A\) e \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\) tais que o segmento de recta \(L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\) unindo \(\boldsymbol{x}\) a \(\boldsymbol{y}\) está contido em \(A\). Então \[\left|f(\boldsymbol{y})-f(\boldsymbol{x})\right|\leq \sup_{\theta\in ]0,1[}\|\nabla f(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\|\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|.\]

Vai ser este o tipo de resultado que vamos generalizar para termos um teorema do valor médio para funções vectoriais. A ideia de base para obtê-lo é a mesma. Consideramos uma função escalar auxiliar a que aplicamos o teorema de Lagrange. Seja \(\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^m\) um vector a escolher posteriormente e \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) uma função diferenciável, \(A\) um aberto, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in A\), \(L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\subset A\). Define-se \(g(t)=\boldsymbol{a}\cdot F(\boldsymbol{x}+t(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\). Aplica-se o teorema de Lagrange a \(g\) no intervalo \([0,1]\) para obter que existe \(\theta\in\left]0,1\right[\) tal que \[\boldsymbol{a}\cdot(F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{a}\cdot (DF(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})).\] Tomando \(\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x})\), aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e estimando a imagem de uma aplicação linear por um vector de forma análoga ao que já fizemos atrás, obtém-se uma estimativa da forma pretendida

Teorema do valor médio ou de Lagrange para funções vectoriais. Sejam \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) uma função diferenciável, \(A\) um aberto, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in A\), \(L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\subset A\). Então \[\|F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x})\|\leq \sup_{\theta\in]0,1[} \|DF(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\|.\] Fim do enunciado do teorema.

Uma estimativa mais explícita, não envolvendo determinar o supremo dos valores de uma aplicação linear mas sim o supremo de derivadas parciais, também é possível.

Corolário. Sejam \(F:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) uma função diferenciável, \(A\) um aberto, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in A\), \(L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\subset A\). Então existe uma contante, só dependente de \(m\) e \(n\), \(C(m,n)>0\), tal que \[\|F(\boldsymbol{y})-F(\boldsymbol{x})\|\leq C(m,n) \sup_{ i=1,\dots,m,\; j=1,\dots,n}\sup_{\theta\in]0,1[}\left|\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(\boldsymbol{x}+\theta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}))\right|\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|.\]

No caso de $F\in C^1(A)$ com $A$ aberto e aplicando o teorema de Weierstrass aplicado às derivadas parciais de $F$ obtém-se

Corolário (Funções $C^1$ são localmente lipschitzianas). Seja $A\subset\mathbb{R}^n$ um aberto e $F:A\to \mathbb{R}^m$ tal que $F\in C^1(A)$. Então para cada limitado e fechado $\omega\subset A$ existe $C(\omega)\gt 0$ tal que \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C(\omega) \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|.\]

No título do corolário usámos uma designação usada em Análise Matemática para funções verificando este tipo de desigualdades. Em geral:

Definição (Funções lipschitzianas). Seja $F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ uma função tal que existe $C\gt 0$ verificando \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\] para todos os $\boldsymbol{x},  \boldsymbol{y}\in A$. Então $F$ diz-se lipschitziana em $A$ e $C$ é designada por constante de Lipschitz de $F$.

Note que a constante de Lipschtz de $F$ não é única. De facto determinar a melhor, isto é, a menor constante de Lipschiz possível é, em geral, um problema não trivial.

Definição (Funções localmente lipschitzianas). Seja $F:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ uma função tal que para cada $\omega\subset\mathbb{R}^n$ limitado e fechado existe $C(\omega)\gt 0$ verificando \[\left\|F(\boldsymbol{x})-F(\boldsymbol{y})\right\|\leq C(\omega) \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|\] para todos $\boldsymbol{x},  \boldsymbol{y}\in A\cap \omega$. Então $F$ diz-se localmente lipschitziana em $A$ e $C(\omega)$ é uma constante de Lipschitz relativa $F$ em $A\cap \omega$.

Exercício. Justifique que $\mathbb{R}\ni x\mapsto x^2$ é localmente lipschiziana mas não é lipschitziana.


Última actualização: João Palhoto Matos em 16/01/2016 12:13:09.