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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Diferenciabilidade

Teorema da função implícita

O teorema da função implí­cita é um resultado equivalente ao teorema da função inversa que pode ser descrito numa primeira aproximação com o lidar com equações \(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0\) enquanto que aquele lidava com equações \(F(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}\).

Vamos ver como analisar um sistema de equações da forma \(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0\), em que pretendemos obter \(\boldsymbol{y}\) em função de \(\boldsymbol{x}\), de uma forma que possibilite a utilização do teorema da função inversa. O resultado dessa interpretação irá constituir o teorema da função implícita.

Começamos por precisar o contexto em que nos consideramos. Supomos \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\), \(\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^k\), \(U\subset \mathbb{R}^{n+k}\) um aberto,  \( F:U\subset \mathbb{R}^{n+k}\to \mathbb{R}^{k}\) uma função de classe \(C^1(U)\) e  \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\in U\) é tal que \(F(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)=0\). O que se pretende com o teorema da função implícita é garantir que existe uma vizinhança $W$ de $(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)$ em que a equação \(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0\) define \(\boldsymbol{y}\) como uma função \(C^1\) de \(\boldsymbol{x}\) numa vizinhança de \(\boldsymbol{x}_0\), mais precisamente que existe uma função \(h:V\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^k\), com \(V\) uma vizinhança de \(\boldsymbol{x}_0\), $h\in C^1(V)$, tal que $F(\boldsymbol{x},h(\boldsymbol{x}))=0$ para todo o \(\boldsymbol{x}\in V\) e \[\left\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\in W: F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0}\right\}=\left\{(\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x})): \boldsymbol{x}\in V\right\}.\]

Sugerindo graficamente as convenções no teorema da função implícita.

Para estudar esta questão usando o teorema da função inversa consideramos a aplicação \[  (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\mapsto (\boldsymbol{x},F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))\equiv G(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\]

A matriz jacobiana de \(G\) tem a seguinte estrutura \[J_G(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\begin{bmatrix}I & 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{x}} & \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{y}} \end{bmatrix}\] em que \(\frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{x}} \) e \(\frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{y}} \) designam respectivamente as submatrizes jacobianas de \(F\) correspondentes às colunas envolvendo as coordenadas de \(\boldsymbol{x}\) e de \(\boldsymbol{y}\) respectivamente e \(I\) designa uma matriz identidade. Daí que \[\det J_G(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \det \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{y}}\] e podemos aplicar a \(G\) o teorema da função inversa relativamente ao ponto \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\) se \(\det \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\neq 0\). Supondo que tal se verifica interpretemos quais são as conclusões obtidas do teorema da função inversa neste contexto: existem abertos \(W,T\) contendo \((\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{0})\) e \((\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)\) respectivamente e uma aplicação \(H:W\to T \subset\mathbb{R}^{n+k}\) tal que \(H(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{0})=(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)\) e \(G(H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\) para todo o \((\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in W\). Mais explicitamente se convencionarmos \(H=(H_X,H_Y)\) (note-se que \(H_Y\) corresponde a considerarmos o vector das funções coordenadas de \(H\) de ordem \(n+1\) a \(n+k\)) temos \(F(\boldsymbol{x},H_Y(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))=\boldsymbol{0}\) para \(\boldsymbol{x}\) numa vizinhança \(V\) de \(\boldsymbol{x}_0\), isto é, a função \(h\) que procurávamos é dada por \(h(\boldsymbol{x})=H_Y(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})\).

As nossas conclusões podem ser então resumidas da seguinte forma:

Teorema (da função implícita). Sejam \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\), \(\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^k\), \(U\subset \mathbb{R}^{n+k}\) um aberto,  \(F:U\subset \mathbb{R}^{n+k}\to \mathbb{R}^{k}\) uma função de classe \(C^1(U)\) e  \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\in U\) é tal que \(F(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)=0\). Se a submatriz jacobiana de \(F\) que corresponde às variáveis \(\boldsymbol{y}\) for tal que em \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\) o seu determinante for não nulo, isto é, \(\det\frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\neq 0\), então existe uma vizinhança \(W\) de \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\) em que o conjunto $\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\in U\cap W: F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{0}\}$ é o gráfico de uma função \(h:V\to\mathbb{R}^k\), com $V$ uma vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$, $h(\boldsymbol{x}_0)= \boldsymbol{y}_0$, $h\in C^1(V)$, e, em particular, \begin{equation}F(\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{0}, \forall_{\boldsymbol{x}\in V}.\label{eq:implicita}\end{equation}

Diz-se que \(h\) está definida implicitamente por \(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=0\) em \(W\).

Diferenciação de funções definidas implicitamente

A identidade $(\ref{eq:implicita})$ permite-nos obter, através do teorema de derivação da função composta, derivadas parciais de \(h\) por diferenciação obtendo-se \[ \frac{\partial F}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},h(\boldsymbol{x}))+ \sum_{j=1}^k \frac{\partial F}{\partial y_j}(\boldsymbol{x},h(\boldsymbol{x}))\frac{\partial h_j}{\partial x_i}=0\] para cada \(i=1,\dots, n\) constituindo, para cada \(i\) fixado um sistema linear de \(k\) equações a \(k\) incógnitas, as derivadas parciais \(\frac{\partial h_j}{\partial x_i}\), cuja possibilidade de solução única em \((\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{y}_0)\) é exactamente garantida pela hipótese do teorema. Alguns exemplos tornarão esta afirmação bastante mais clara.

Exemplo. Considere \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=x^2+y^2+\log(x^2 y^2+1)\). A equação \(f(x,y)=1\) é satisfeita para \((x,y)=(0,1)\). Para investigarmos se a equação \(f(x,y)=1\) define \(y\) como função de \(x\) numa vizinhança de \(x=0\) notamos que \(f\) é de facto uma função de classe \(C^1\) e \[\frac{\partial f}{\partial y}=2y+\frac{2x^2 y}{x^2 y^2+1}\] donde \[\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=2\neq 0\] pelo que de facto o teorema da função implícita permite-nos tirar essa conclusão.

Se designarmos a função definida implicitamente por \(h\) temos \(h(0)=1\) e podemos pôr a questão de saber quanto vale a derivada de \(h\) em \(0\). Como temos \[f(x,h(x))=1\] para \(x\) numa vizinhança de \(0\) e temos a garantia de que \(h\) é diferenciável podemos diferenciar ambos os lados da igualdade anterior para obter \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,h(x))+ \frac{\partial f}{\partial y}(x,h(x))h'(x)=0\] donde \[h'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,h(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,h(x))}\] e em particular \[h'(0)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,1)}{\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)}=\frac{0}{2}=0\] onde usámos \[\frac{\partial f}{\partial x}=2x+\frac{2x y^2}{x^2 y^2+1}.\]

ExemploConsidere \(G:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2\) definida por \(G(x,y,z,w)=(x^2+y^2+z^2+w^2,z+\log(x^2 y^2z^2w^2+1 ))\). Temos \(G(0,0,1,1)=(2,1)\) e podemos pôr a questão de saber se o sistema \[\begin{cases}x^2+y^2+z^2+w^2 =2 \\ z+\log(x^2 y^2z^2w^2+1 )=1 \end{cases}\] define \((z,w)\) como função de \((x,y)\) numa vizinhança de \((0,0,1,1)\).

\(G\in C^1(\mathbb{R}^4)\) e a matriz jacobiana de \(G\) é \[J_G(x,y,z,w)=\begin{bmatrix}2x & 2y & 2z & 2w \\ \frac{2xy^2z^2w^2}{x^2 y^2z^2w^2+1} & \frac{2yx^2z^2w^2}{x^2 y^2z^2w^2+1} & 1+\frac{2zx^2y^2w^2}{x^2 y^2z^2w^2+1} & \frac{2wx^2y^2z^2}{x^2 y^2z^2w^2+1} \end{bmatrix}\] pelo que \[J_G(0,0,1,1)=\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

A submatriz jacobiana correspondente às variáveis \(z\) e \(w\) verifica \[ \det \frac{\partial G}{\partial(z,w)}(0,0,1,1)= \det \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix}=-2\neq 0\] pelo que o teorema da função implícita garante que a resposta à questão é afirmativa. Se designarmos a função definida implicitamente por \(H(x,y)=(Z(x,y), W(x,y))\) podemos calcular a sua matriz jacobiana no ponto \((0,0)\) por derivação de ambos os membros da identidade \(G(x,y,Z(x,y), W(x,y))=(2,1)\). Por exemplo, se estivermos interessados nos valores das derivadas parciais de \(Z\) e \(W\) em ordem a \(x\) somos conduzidos ao sistema (por conveniência de notação simplesmente indicamos \(z\) onde mais formalmente deveria estar \(Z(x,y)\), etc.)\[\begin{cases}2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}+2w\frac{\partial w}{\partial x}=0 \\ \frac{2xy^2z^2w^2}{x^2 y^2z^2 w^2+1} + \left(1+ \frac{2zx^2y^2w^2}{x^2 y^2z^2 w^2+1} \right)\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{2w x^2y^2z^2}{x^2 y^2z^2(x,y)w^2+1} \frac{\partial w}{\partial x}=0 \end{cases}\] Particularizando para \((x,y)=(0,0)\) e \((z,w)=(1,1)\) obtemos o sistema \[\begin{cases} 2 \frac{\partial z}{\partial x}(0,0) + 2 \frac{\partial w}{\partial x}(0,0)=0 \\ \frac{\partial z}{\partial x}(0,0) = 0 \end{cases}\] e portanto ambas estas derivadas parciais são nulas.

Exercício. É consideravelmente mais simples verificar que o teorema da função implícita implica o teorema da função inversa. Faça-o!

Exercício. Mostre que se no enunciado do teorema da função implícita supusermos adicionalmente $F\in C^k(U)$ com $k\gt 1$, então podemos garantir $h\in C^k(V)$.


Última actualização: João Palhoto Matos em 22/07/2019 14:34:12.