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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Extremos em pontos interiores

Será que do comportamento qualitativo de um polinómio de Taylor conveniente podemos deduzir o comportamento de qualitativo de uma função numa vizinhança de um ponto? A resposta vai ser afirmativa sob hipóteses adequadas e é assim que obtemos uma das ferramentas mais importantes para classificar possíveis pontos de extremo de funções.

Relembremos que:

Definição (Pontos de extremo (absoluto)). Diz-se que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tem um máximo (resp. mínimo) num ponto $\boldsymbol{x}_0\in A$, ou que $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de máximo (resp. mínimo) de $f$ se $f(\boldsymbol{x})\leq f(\boldsymbol{x}_0)$ (resp. $f(\boldsymbol{x})\geq f(\boldsymbol{x}_0)$) para todo o $\boldsymbol{x}\in A$.

Definição (Pontos de extremo local). Diz-se que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tem um máximo (resp. mínimo) local num ponto $\boldsymbol{x}_0\in A$, ou que $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de máximo (resp. mínimo) local de $f$, se existir $r\gt 0$ tal que a restrição de $f$ a $B_r(\boldsymbol{x}_0)$ tem um máximo em $\boldsymbol{x}_0$, isto é, $f(\boldsymbol{x})\leq f(\boldsymbol{x}_0)$ (resp. $f(\boldsymbol{x})\geq f(\boldsymbol{x}_0)$) para todo o $\boldsymbol{x}\in A\cap B_r(\boldsymbol{x}_0)$.

Proposição. Suponhamos que $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ possui um extremo local num ponto $\boldsymbol{x}_0\in \operatorname{int}A$ e nesse ponto existem e são finitas todas as derivadas parciais de $f$. Então todas essas derivadas parciais são nulas.

Definição (Sistema e pontos de estacionaridade). Aos pontos interiores do domínio de uma função $f$ como na proposição anterior que satisfazem o sistema $\nabla f=0$ chamamos pontos de estacionaridade (ou pontos críticos) de $f$ e ao sistema designamo-lo como sistema de estacionaridade. Designaremos os pontos críticos que não são pontos de extremo local como pontos de sela.

A seguir apresentamos um exemplo do tipo de resultados em que estamos interessados para usar a fórmula de Taylor para identificar e classificar possíveis pontos de extremo de entre os pontos de estacionaridade de uma função. Versões mais gerais deste resultado serão consideradas posteriormente.

Teorema (Condição suficiente para extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^2(A)\), \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(\nabla f( \boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{0}\). Se a forma quadrática  \(\mathbb{R}^n\ni\boldsymbol{h}\mapsto D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)\) for definida positiva (resp. negativa) então \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto de mínimo (resp. máximo) local de \(f\).

Demonstração. Consideramos o caso em que a forma quadrática é definida positiva.

Para mostrar que \(\boldsymbol{x}_0 \) é um ponto de mínimo basta mostrar que existe \(r\gt 0\) tal que se \(\|\boldsymbol{h}\|\lt r\) então $f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}_0)\geq 0$. A fórmula de Taylor de segunda ordem para $f$ em torno de $\boldsymbol{x}_0$ permite escrever, para $\boldsymbol{h}$ suficientemente pequeno, \[\begin{equation}\frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} \left(f(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{x}_0)\right)=\frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0) + \frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} \mathcal{E}^{(2)}_f(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h}) \label{formula_Taylor_2}\end{equation}\] em que \(\mathcal{E}^{(2)}_f(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{h})\) designa o resto de segunda ordem da fórmula de Taylor.

Como a derivada dirigida de segunda ordem é um polinómio homogéneo em \(\boldsymbol{h}\) temos \[\frac{1}{\|\boldsymbol{h}\|^2} D^{(2)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)= D^{(2)}_{\frac{\boldsymbol{h}}{\|\boldsymbol{h}\|}}f(\boldsymbol{x}_0)\] o que permite observar que, para minorar a primeira parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$), basta fazê-lo quando \(\boldsymbol{h}\) é um vector unitário. Como o conjunto de todos os vectores unitários é um limitado e fechado e uma forma quadrática é uma função contínua, o teorema de Weierstrass permite garantir que a primeira parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$) é minorável por um número positivo, designemo-lo por \(m\). [Em vez de usar o teorema de Weierstrass é possível usar exclusivamente um argumento de Álgebra Linear do estudo das formas quadráticas para estabelecer que se pode tomar como minorante o menor dos valores próprios da matriz hessiana associada que, sendo a forma quadrática definida positiva, é positivo.]

Notando agora que a segunda parcela do segundo membro de ($\ref{formula_Taylor_2}$) tende para \(0\) quando \(\boldsymbol{h}\to \boldsymbol{0}\), e portanto existirá \(r\gt 0\) tal que, para \(\|\boldsymbol{h}\|\lt r\), o seu valor tem módulo inferior a \(m/2\), verificamos que para tal \(r\) satisfazemos o pretendido. Fim de demonstração.

Exemplo. Consideremos \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=e^{y^2}+x^2 +\frac{xy^3}{2}\) e o problema de determinar os pontos de extremo local de \(f\).

Temos  \[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} & = 2x +\frac{y^3}{2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = 2y e^{y^2} +\frac{3}{2} x y^2  \end{align*}\] o que conduz ao sistema de estacionaridade \[\begin{cases} 2x +\frac{y^3}{2}  = 0 \\ 2y e^{y^2} +\frac{3}{2}x y^2  = 0\end{cases}\] Da primeira destas equações qualquer ponto de estacionaridade de \(f\) deverá verificar \(x=-\frac{y^3}{4}\). Substituindo este valor de \(x\) na segunda equação obtemos \(16y e^{y^2} -3 y^5=0\). Esta equação tem uma solução \(y=0\), a que portanto corresponderá o ponto de estacionaridade \((0,0)\), e resta saber se não terá outras soluções que deverão satisfazer \(16 e^{y^2} -3 y^4=0\). Usando o desenvolvimento de Taylor da exponencial sabemos no entanto que \(e^{y^2}>1+y^2+\frac{y^4}{2}\) o que nos permite descartar a hipótese de existência de outros pontos de estacionaridade pois então \[16 e^{y^2} -3 y^4 \gt 16+16 y^2+8y^4  -3 y^4 \gt 0.\]

Passamos então à análise do que se passa em \((0,0)\). Temos \(f(0,0)=1\) e \[\begin{align*}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&= 2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&= \frac{3y^2}{2} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & = (2+4y^2) e^{y^2} +3x y\end{align*}\] Daí que a matriz hessiana de \(f\) em \((0,0)\) é \[H_f(0,0)=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\] que define uma forma quadrática definida positiva e consequentemente podemos afirmar que \((0,0)\) é um ponto de mínimo local sendo o mínimo local \(1\). Fim de exemplo.

Exercício. Mostre que o mínimo local do exemplo anterior é um mínimo absoluto. Use \[\lim_{(x,y)\to\infty} f(x,y)=+\infty\] algo que está provado atrás.

Uma extensão do resultado anterior com demonstração análoga é:

Teorema (Condição suficiente para um extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^k(A)\), com \(k\) um inteiro positivo, \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(D^{(j)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)=0\) para \(j=1,\dots,k-1\) e \(\boldsymbol{h}\mapsto D^{(k)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)\) é uma forma definida positiva (resp. negativa). Então \(\boldsymbol{x}_0\) é um ponto de mínimo (resp. máximo) local de \(f\).

Exemplo.  Consideremos \(g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(g(x,y)=e^{x^4}+x^2y^2 +4y^4\) e o problema de decidir se \((0,0)\) é ou não um extremo local de \(g\). Todas as derivadas parciais de \(g\) de ordem menor ou igual a \(3\) são nulas em \((0,0)\). O termo de quarta ordem da fórmula de Taylor de \(g\) em \((0,0)\) define uma forma de grau \(4\) \[(h,k)\mapsto h^4+h^2k^2+4k^4\] que é definida positiva e consequentemente \((0,0)\) é um ponto de mínimo local de \(g\). [Verifique todas as afirmações neste exemplo.]

Vamos agora considerar um resultado que nos permite afirmar que um ponto de estacionaridade não é um ponto de extremo.

Teorema (Condição suficiente para não existência de extremo num ponto interior). Sejam \(f:A\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) com \(A\) um aberto, \(f\in C^k(A)\), com \(k\) um inteiro positivo, \(\boldsymbol{x}_0\in A\) tal que \(D^{(j)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)=0\) para \(j=1,\dots,k-1\) e \(\boldsymbol{h}\mapsto D^{(k)}_{\boldsymbol{h}} f( \boldsymbol{x}_0)\) é uma forma indefinida. Então \(\boldsymbol{x}_0\) não é um ponto de extremo de \(f\).

Ideia da demonstração. O argumento, ao contrário do que se passava com os resultados anteriores, é essencialmente em dimensão \(1\), bastando considerar a restrição de \(f\) a duas semirectas com origem em \(\boldsymbol{x}_0\) na direcção e sentido de vectores que façam a forma tomar sinais opostos e aplicar a versão unidimensional do teorema de Taylor às funções de \(1\) variável real correspondentes às restrições da função assim definidas. Fim da ideia de demonstração.

Exemplo. Consideremos a função \(h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definida por \(h(x,y)=e^{xy}+x^4\). Verifica-se facilmente que \((0,0)\) é um ponto de estacionaridade de \(h\) e que o termo de segunda ordem da fórmula de Taylor em \((0,0)\) é a forma quadrática indefinida \((x,y)\mapsto xy\). Consequentemente \((0,0)\) não é um ponto de extremo de \(h\).

Exemplo. Considere a função \(\psi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) definida por $\psi(x,y,z)=\operatorname{sen}(xyz+x^2z)+x^2y^2+x^3z^2$. Verifica-se facilmente que \((0,0,0)\) é um ponto de estacionaridade de \(\psi\) e que os termos de primeira e segunda ordem da fórmula de Taylor em $(0,0,0)$ são nulos e o de terceira ordem é $xyz+x^2z$. Este polinómio é uma forma de grau $3$, portanto indefinida. Assim $(0,0,0)$ não é um ponto de extremo de $\psi$.

Exemplo. Consideremos a função $\phi:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R}$ definida por \[\phi(x,y)=\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x+1)(y+1).\] Pretendemos estudar esta função quanto à existência de pontos de extremo local. [Note que $\phi$ é um polinómio de quarto grau que é o produto de uma forma quadrática em $x-1$ e $y-1$ e de uma forma quadrática em $x+1$ e $y+1$ o que nos perme suspeitar que dois pontos de extremo são $(1,1)$ e $(-1, -1)$ e nos permitirá analisar a fórmula de Taylor realtiva a pontos de estacionaridade de uma forma puramente algébrica.]

O sistema de estacionaridade é \begin{align}\begin{cases}2(x-1)(x+1)(y+1)+\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(y+1) = 0 \\ 2(y-1)(x+1)(y+1)+\left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x+1) = 0\end{cases}\label{sistema_estacionaridade:1}\end{align}

Uma possibilidade óbvia para satistazer a primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:1}$) é ter $y=-1$. Nesse caso a segunda equação conduz a $x=-1$. Obtivemos portanto um primeiro ponto de estacionaridade: $(-1,-1)$.

Se $(x,y)\neq (-1,-1)$ o sistema de estacionaridade reduz-se a \begin{align}\begin{cases}2(x-1)(x+1)+(x-1)^2+ (y-1)^2= 0 \\ 2(y-1)(y+1)+(x-1)^2+ (y-1)^2 = 0\end{cases}\label{sistema_estacionaridade:2}\end{align}

Subtraindo membro a membro as duas equações de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) obtemos $2(x-1)(x+1)-2(y-1)(y+1)=0$ o que é equivalente a $x^2= y^2$. Portanto quaisquer soluções adicionais deverão satisfazer $y=\pm x$.

Com $y=x$ a primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) reduz-se a $(x-1)(x+1)+ (x-1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)x=0$. Esta última equação tem por solução $x=1$ ou $x=0$. Para cada um destes casos ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$) permite obter respectivamente $y=1$ e $y=0$. Obtivemos mais dois pontos de escionaridade: $(x,y)=(1,1)$ e $(x,y)=(0,0)$.

Finalmente o caso $y=-x$ leva, por substituição na primeira equação de ($\ref{sistema_estacionaridade:2}$), a que não existem outros pontos de estacionaridade.

Passamos à análise dos 3 pontos de estacionaridade usando fórmula de Taylor. Note, que devido a estarmos a lidar com um polinómio, determinar a fórmula de Taylor de qualquer ordem de $\phi$ em torno de $(-1,-1)$ , $(1,1)$ e $(0,0)$ pode limitar-se aos cálculos seguintes:

\begin{align*} \phi(x,y) &= \left((x-1)^2+ (y-1)^2\right)(x-1+2)(y-1+2) \\ &= 4(x-1)^2 + 4 (y-1)^2 + 2 (x-1)^3 + 2 (x-1)(y-1)^2 + 2 (x-1)^2 (y-1) + 2 (y-1)^3 + (x-1)^3 (y-1) + (x-1)(y-1)^3  \\ \phi(x,y) &= \left((x+1-2)^2+ (y+1-2)^2\right)(x+1)(y+1) \\ &= 8 (x+1)(y+1) -16 (x+1)(y+1)^2-16 (x+1)^2(y+1)+(x+1)^3(y+1)+(x+1)(y+1)^3 \\ \phi(x,y)&= (x^2-2x+1+y^2-2y+1)(xy+x+y+1)\\ &=2-x^2-y^2-2xy+x^3-x^2y-xy^2+y^3+x^3y+xy^3\end{align*} pelo que os termos de segunda ordem da fórmula de Taylor de $\phi$ em torno de $(1,1)$, $(-1,-1)$ e $(0,0)$ são respectivamente \begin{gather*}\frac{1}{2} D^{(2)}_{(x-1,y-1)}\phi(1,1) = 4(x-1)^2 + 4 (y-1)^2 \\ \frac{1}{2} D^{(2)}_{(x+1,y+1)}\phi(-1,-1) =8(x+1)(y+1)\\ \frac{1}{2} D^{(2)}_{(x,y)}\phi(0,0) = -x^2-y^2-2xy \end{gather*} As formas quadráticas associadas são respectivamente definida positiva, indefinida e semidefinida negativa. Podemos assim afirmar, recorrendo à análise dos termos da fórmula de Taylor até à segunda ordem, que $(1,1)$ é um ponto de mínimo local, $(-1,-1)$ é um ponto de sela, e $(0,0)$ será ou um ponto de máximo local ou um ponto de sela. Fim de exemplo.

Resultados adicionais

Uma questão natural, à luz do último exemplo anterior, é decidir se podemos estabelecer um critério mais fino baseado na fórmula de Taylor que, quando a primeira forma não nula na fórmula de Taylor é semidefinida ainda nos permita, por vezes, tirar conclusões à custa de usar termos de ordem superior da fórmula de Taylor. Mais precisamente, suponha-se que temos $f:U\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, com $\boldsymbol{x}_0\in \operatorname{int} U$, $f$ de classe $C^l$ numa vizinhança de $\boldsymbol{x}_0$ é tal que $D^{(j)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)=0$ para $j=1,\dots,k-1$, com $k\lt l$, e para todo o $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n$, que $D^{(k)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)\neq 0$ e é semidefinida. Designamos por $S$ o conjunto de todos os vectores $\boldsymbol{\eta}$ de $\mathbb{R}^n$ tais que $D^{(k)}_{\boldsymbol{\eta}}f(\boldsymbol{x}_0)=0$. Suponha-se ainda que $l$ é a menor ordem superior a $k$ tal que existe um $\boldsymbol{\eta}\in S$ tal que $D^{(l)}_{\boldsymbol{\eta}}f(\boldsymbol{x}_0)\neq 0$.

Exercício. Mostre que, no contexto descrito atrás:

  1. Se $D^{(k)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)$ é semidefinida positiva (resp. negativa) e existe $\boldsymbol{\eta}\in S$ tal que $D^{(l)}_{\boldsymbol{\eta}}f(\boldsymbol{x}_0)\lt 0$ (resp. $\gt 0$) então $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de sela.
  2. Se $D^{(k)}_{\boldsymbol{h}}f(\boldsymbol{x}_0)$ é semidefinida positiva (resp. negativa) e qualquer que seja $\boldsymbol{\eta}\in S$ temos $D^{(l)}_{\boldsymbol{\eta}}f(\boldsymbol{x}_0)\gt 0$ (resp. $\lt 0$) então $\boldsymbol{x}_0$ é um ponto de mínimo (resp. máximo) local.

Aproveite apara completar a análise do ponto de estacionaridade $(0,0)$ do último exemplo. Fim de exercício.


Última actualização: João Palhoto Matos em 13/04/2018 10:26:19.