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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Exemplos de cálculo de integrais usando mudança de variáveis

Decidir quando usar uma mudança de variáveis para efectuar um cálculo de um integral ou que mudança de variáveis considerar entre várias possibilidades não são em geral questões de resposta simplista. No entanto há, em geral, duas questões básicas a considerar:

  • A mudança de variáveis simplifica a descrição da região de integração?
  • A mudança de variáveis simplifica a função integranda?

Os exemplos seguintes ilustram, entre outros, este tipo de decisões.


Exemplo (volume de $B_r(\boldsymbol{0})$). Seja $r\gt 0$. A aplicação linear $\boldsymbol{x}\mapsto r\boldsymbol{x}$ transforma a bola de raio $1$ centrada em $\boldsymbol{0}$ na bola de raio $r$ centrada em $\boldsymbol{0}$. Trata-se de uma transformação linear representada por uma matriz diagonal com $r$s na diagonal principal. O respectivo determinante é $r^n$ com $n$ a dimensão do espaço. Obtém-se $\operatorname{vol}(B_r(\boldsymbol{0}))=r^n \operatorname{vol}(B_1(\boldsymbol{0}))$. Usando translacções, que deixam o volume invariante, $\operatorname{vol}(B_r(\boldsymbol{x}_0))=r^n \operatorname{vol}(B_1(\boldsymbol{0}))$ para qualquer $\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^n$.

Exemplo (volume de um elipsóide). Sejam $a,b,c\gt 0$. A aplicação linear $(x,y,z)\mapsto (ax, by, cz)$ transforma a bola $B_1(0,0,0)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 1\}$ no elipsóide $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}\leq 1\right\}$ com semi-eixos de comprimentos $a$, $b$ e $c$. A aplicação linear é representada pela matriz $\operatorname{diag}(a,b,c)=\left[\begin{smallmatrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{smallmatrix}\right]$ com determinante $abc$ pelo que o o volume do elipsóide é $abc \operatorname{vol}(B_1(0,0,0))$.

 

Elipsóide
Elipsóide

 

Exemplo. Voltamos a considerar um exemplo que já tratámos via coordenadas cartesianas. Seja \(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\leq y \leq 2x, 1\leq xy \leq 4\}\) e \(h:S\to\mathbb{R}\) definida por \(h(x,y)=\frac{1}{xy}\) e consideramos o cálculo do integral \(\iint_S h(x,y)\,dx\, dy\).

Note-se que neste momento do curso podemos afirmar que o integral existe pois $h$ é contínua e $\partial S$ tem medida nula, algo que da primeira vez que analisámos este problema omitimos.

Vamos considerar uma mudança de variáveis que simultaneamente se revelará bem adaptada à região de integração e à função integranda. Seja $\varphi:{]0,+\infty[}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por\[ \varphi(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=(xy,y/x). \]

A região S e o novo sistema de coordenadas
A região $S$ e o novo sistema de coordenadas

Note que $u$ tem linhas de nível correspondentes a ramos de hipérbole $xy=c$ com $c\gt 0$ e $v$ tem linhas de nível correspondentes a semirectas de equação $y=\alpha x$ com $\alpha\gt 0$, $x\gt 0$. A matriz jacobiana de $\varphi$ é \[J_\varphi(x,y)=\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}y & x \\ -y/x^2 & 1/x \end{bmatrix}\]

Como nitidamente $\varphi$ é $C^1$ e injectiva no seu domínio, o interior do primeiro quadrante, e $\left|\det J_\varphi(x,y)\right|=2\frac{y}{x}\gt 0$, podemos afirmar que possui uma inversa $C^1$, $\psi\equiv\varphi^{-1}$ , verificando $\left|\det J_\psi(u,v)\right|=\frac{1}{\frac{2y}{x}}=\frac{x}{2y}=\frac{1}{2v}$.

Em termos das novas coordenadas $u$ e $v$, $S$ é transformado no intervalo $\varphi(S)=[1,4]\times [1,2]$.

Assim \[\begin{align*}\iint_S h(x,y)\, dx\, dy & = \iint_{\varphi(S)} h(\psi(u,v)) \,\left|\det J_\psi(u,v)\right| \, du\, dv \\ & = \iint_{[1,4]\times [1,2]} \frac{1}{2vu}\, du\, dv \\ & = \frac{1}{2} \left(\int_1^4 \frac{1}{u} \, du\right) \left(\int_1^2 \frac{1}{v} \, dv\right) = \frac{1}{2} \log 4 \log 2=\log^2 2.\end{align*}\] Fim de exemplo.

A vantagem na utilização da mudança de coordenadas no exemplo anterior consistiu na simplificação da região de integração. O exemplo seguinte ilustra uma situação em que é a alteração da função integranda que nos possibilita completar um cálculo.

Exemplo. Considere a função $E:{]0,+\infty[}\to \mathbb{R}$ definida por \[E(R)=\iint_{[-R,R]^2}e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy\] e o problema de calcular $\displaystyle\lim_{R\to +\infty}E(R)$. Note que a função está bem definida (isto é, para cada valor de $R>0$ o integral existe), $E(R)\gt 0$ para todo o $R\gt 0$ e $E$ é uma função estritamente crescente (porquê?). Daí que o limite existe ou como um número positivo ou sendo $+\infty$.

Se tentarmos calcular o integral pelo teorema de Fubini e regra de Barrow obtemos \[\begin{equation}\iint_{[-R,R]^2}e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy = \int_{-R}^R\left(\int_{-R}^R e^{-(x^2+y^2)}\, dx\right) dy = \left(\int_{-R}^R e^{-x^2}\, dx\right)^2 \label{eq:1}\end{equation}\] mas a utilização da regra de Barrow esbarra com o facto da função $x\mapsto e^{-x^2}$ não ser elementarmente primitável. Para ultrapassarmos esta dificuldade vamos considerar o problema análogo em que o quadrado $[-R,R]^2$ é substituído pela bola $B_R(0,0)$. Mais precisamente define-se $F:{]0,+\infty[}\to \mathbb{R}$ via \[\iint_{B_R(0,0)}e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy,\] notamos que para todo o $R\gt 0$ temos $F(R)\lt E(R) \lt F(\sqrt{2}R)$ (porquê?) e daí que $\displaystyle\lim_{R\to +\infty}E(R)=\lim_{R\to +\infty}F(R)$.

As várias regiões de integração do exemplo.
As várias regiões de integração do exemplo para um dado $R\gt 0$: $B_R(0,0)\subset [-R,R]^2\subset B_{\sqrt{2}R}(0,0)$.
 

Vamos agora usar coordenadas polares para calcular $F(R)$. Definimos $(x,y)=P(r,\theta)$ via \[P(r,\theta)=\begin{cases}x=r\cos\theta, \\ y = r\operatorname{sen}\theta, \end{cases}\] para $\theta\in [0,2\pi]$ e $r\geq 0$. Note que se considerarmos esta função restrita a $r\gt 0$ e $\theta\in {]0,2\pi[}$ a função assim definida é $C^\infty$ num aberto e é uma bijecção cujo contradomínio é $\mathbb{R^2}$ excepto no semi-eixo positivo dos $x$s, um conjunto de medida bidimensional nula. Temos para a matriz jacobiana de $P$ \[J_P(r,\theta)=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos \theta & -r\operatorname{sen}\theta \\ \operatorname{sen}\theta & r\cos \theta\end{bmatrix} \] cujo módulo do determinante é \[\left|\det J_P(r,\theta)\right|= r.\] Pode então efectuar-se o cálculo \[F(R)=\iint_{B_R(0,0)}e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^R r e^{-r^2}\, dr\right)\, d\theta=\pi (1- e^{-R^2}).\] Passando ao limite obtém-se que \[\lim_{R\to +\infty}E(R)= \lim_{R\to +\infty}F(R)=\pi.\]

Note que ($\ref{eq:1}$) também permite estabelecer que \[\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^R e^{-t^2}\, dt=\sqrt{\pi}\] algo a reter para quando encontrar em Probabilidades a distribuição normal. Fim de exemplo

Exemplo. Considere-se o problema que consiste em calcular as coordenadas do centróide (ou, se preferir, o centro de massas, suposto o corpo de densidade constante) da região de $\mathbb{R}^3$ definida por \[V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 1, \; z\geq \sqrt{x^2+y^2}\right\}.\]

O centróide tem por coordenadas \[(\overline{x},\overline{y},\overline{z})=\left(\frac{\iiint_V x\,dx\,dy\,dz}{\iiint_V dx\,dy\,dz}, \frac{\iiint_V y\,dx\,dy\,dz}{\iiint_V dx\,dy\,dz}, \frac{\iiint_V z\,dx\,dy\,dz}{\iiint_V dx\,dy\,dz}\right).\]

A região S e o novo sistema de coordenadas
A região $V$. Note que $V$ pode ser considerado como obtido por rotação em torno do eixo dos $z$s, algo que sugere o uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Obviamente que devido à simetria de $V$ temos (justifique!) \[\iiint_V x\,dx\,dy\,dz=\iiint_V y\,dx\,dy\,dz=0\] e portanto $\overline{x}=\overline{y}=0$. Resta-nos portanto calcular os integrais \[\begin{gather*}\iiint_V dx\,dy\,dz \\ \iiint_V z\,dx\,dy\,dz \end{gather*}\]

Dado $V$ ter simetria radial relativamente ao eixo dos $z$ uma mudança de variáveis natural seriam as coordenadas cilíndricas \[\begin{cases}x=r\cos \theta, \\ y = r\operatorname{sen}\theta, \\ z=z, \end{cases}\] com $\theta\in {[0,2\pi[}$, $r\geq 0$, $z\in\mathbb{R}$. No entanto, uma melhor escolha são as coordenadas esféricas que já conhecemos pois nessas coordenadas $\partial V$ é a união de uma superfície a $\rho$ constante, uma calote esférica, com uma superfície a $\phi$ constante, parte de uma superfície cónica. Usando esta última possibilidade consideramos \[(x,y,z)=T(\rho,\theta, \phi)= (\rho\cos\theta\operatorname{sen}\phi, \rho\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi, \rho \cos\phi)\] com $\rho\in{[0,+\infty[}$, $\theta\in[0,2\pi]$, $\phi\in [0,\pi]$. Nestas coordenadas $V$ é simplesmente descrito por $0\leq \rho\leq 1$, $0\leq \phi\leq \frac{\pi}{4}$, $0\leq \theta \leq 2\pi$ (justifique!). A matriz jacobiana de $T$ é \[J_T(\rho,\theta,\phi)=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\phi)}=\begin{bmatrix} \cos\theta\operatorname{sen}\phi & -\rho\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi  & \rho\cos\theta\cos\phi \\ \operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi  & \rho \cos\theta\operatorname{sen}\phi & \rho\operatorname{sen}\theta\cos\phi \\ \cos \phi & 0 & -\rho\operatorname{sen}\phi \end{bmatrix}\] obtendo-se para o módulo do determinante da matriz jacobiana de $T$ \[\left|\det J_T(\rho,\theta,\phi)\right|=\rho^2\operatorname{sen}\phi.\]

Assim \begin{align*}\iiint_V\,dx\, dy\, dz&=\int_0^1\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_0^{2\pi}\rho^2\operatorname{sen}\phi\,d\theta\right)d\phi\right)\, d\rho\\ &=2\pi\left(\int_0^1\rho^2\, d\rho\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}\phi \, d\phi\right)\\ &= 2\pi \frac{1}{3} \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{align*}

\begin{align*}\iiint_Vz\,dx\, dy\, dz&=\int_0^1\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_0^{2\pi}\rho^3\operatorname{sen}\phi\cos \phi\,d\theta\right)d\phi\right)\, d\rho\\ &=2\pi\left(\int_0^1\rho^3\, d\rho\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}\phi \cos \phi\, d\phi\right)\\ &= 2\pi \frac{1}{4} \frac{1}{4}\end{align*}

pelo que $\overline{z}=\frac{3}{8(2-\sqrt{2})}\approx 0.64$.

Exemplo (volume de uma bola em $\mathbb{R}^n$). Este exemplo esboça como calcular o volume de $B_1(\boldsymbol{0})$ em $\mathbb{R}^n$. O ingrediente essencial é o estabelecer uma fórmula de recorrência relacionando $\operatorname{vol}(B_1(\boldsymbol{0}))$ em $\mathbb{R}^n$ e em $\mathbb{R}^{n-2}$ para $n\geq 3$. Para tal usaremos o teorema de Fubini e coordenadas polares. Convencionamos que $V(n,r)= \operatorname{vol}(B_r(\boldsymbol{0}))$ em $\mathbb{R^n}$ e que $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)$. Temos \[V(n,1)=\int_{x_1^2+\dots+x_n^2\leq 1} dx_1\dots dx_n=\int_{x_1^2+x_2^2\leq 1}\left(\int_{x_3^2+\dots + x_n^2\leq 1- x_1^2-x_2^2}dx_3\dots dx_n \right) dx_1\, dx_2\] e reconhecemos que \(\int_{x_3^2+\dots + x_n^2\leq 1- x_1^2-x_2^2}dx_3\dots dx_n \) é o volume da bola de raio $\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$ em $\mathbb{R}^{n-2}$. De um exemplo anterior e usando coordenadas polares obtemos então \begin{align*}V(n,1) & = \int_{x_1^2+x_2^2\leq 1} V\left(n-2,\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\right) dx_1 \, dx_2 \\ &= \int_{x_1^2+x_2^2\leq 1} V(n-2,1) (1-x_1^2-x_2^2)^{\frac{n-2}{2}} dx_1 \, dx_2 \\ &= V(n-2,1) \int_ 0^{2\pi}\left(\int_ 0^1 r (1-r^2)^{\frac{n-2}{2}} \, dr\right)d\theta \\ &= \frac{2\pi}{n} V(n-2,1). \end{align*}

A fórmula de recorrência obtida, e o cálculo de $V(1,1)=2$ e $V(2,1)=\pi$, permitem obter por indução uma expressão geral explícita para $V(n,1)$. Note por exemplo que $V(3,1)=\frac{4\pi}{3}$. [Obtenha a expressão geral de $V(n,1)$ distinguindo os casos $n$ par e $n$ ímpar.]


Última actualização: João Palhoto Matos em 01/08/2019 08:51:52.