Solução parcial do Exame, versão A, 2016/06/27

Devido aos exame serem a última prova do semestre, em geral tais provas não têm a sua a sua solução publicada devido a prazos apertados para publicação dos resultados finais, interesse reduzido por parte dos alunos, etc. Assim esta página tem carácter algo excepcional e incompleto servindo para criar algumas soluções que serão incorporadas nas fichas no ano lectivo seguinte.

1. Calcule o volume da região .
   Solução

   [Faz parte de saber resolver problemas deste tipo ter capacidade de escolher uma ordem de integração que torne os cálculos expeditos. Apresentam-se três possíveis soluções que, provavelmente para a maioria dos alunos, estão por ordem crescente de dificuldade. Saber mudar ordens de integração é também algo importante, embora, em sentido estrito, se trate de algo desnecessário nesta resolução.]

   Primeira versão: a mais directa

   O volume é cálculável via: Para calcular o integral envolvendo usa-se a conhecida substituição envolvendo o do ângulo duplo e a fórmula fundamental da trigonometria donde . Assim

   Segunda versão: integrando primeiro em ordem a

   O volume também pode ser calculado via: [Note que uma recta paralela ao eixo dos s intersecta de duas formas distintas que obrigam a considerar uma soma de dois integrais iterados.]

   Terceira versão: integrando primeiro em ordem a

   O volume também pode ser calculado via: [Embora baste considerar um integral iterado, os cálculos obrigam a considerar uma função trigonométrica inversa.]

2. Considere uma função definida num subconjunto de por
   1. Determine o domínio de .
   2. Determine , e e decida se é aberto, fechado, conexo ou limitado.
   3. Decida se é ou não uma função limitada.
   Solução

   2. Como , não é aberto. Como , não é fechado. Se , , temos , , , pelo que é desconexo. não é limitado pois, por exemplo, contém pontos da forma com e .
   3. Temos, por exemplo, pelo que não é uma função limitada.
3. Considere a função definida por
   1. Determine em que pontos é que é contínua.
   2. Decida se é ou não diferenciável em .
   Solução

   1. A continuidade da raiz quadrada, da função módulo e do polinómio , juntamente com o teorema da continuidade da função composta garantem que a função é contínua. A continuidade dos polinómios, do produto e do quociente garante então que a função é contínua no complementar da origem. Quanto à continuidade em nota-se que pelo que se pode deduzir a continuidade de em da continuidade em da função definida por .

   2. Quanto à diferenciabilidade de em nota-se que para todos os pelo que e estudar a diferenciabilidade de em corresponde a verificar se Ora acontece que restringindo à recta , com , obtemos o que mostre que o limite, a existir, não é , e portanto não é diferenciável em .
4. Considere a função definida por .
   1. Mostre que e são pontos de estacionaridade de que não são pontos de extremo local.
   2. Justifique que possui dois pontos de extremo local que não são pontos de extremo absoluto. Sugestão: analise o sinal de .
   Solução

   1. Calculando as derivadas parciais de primeira ordem de obtém-se e daí que pelo que e são pontos de estacionaridade.

      Para justificar que e não são pontos de extremo local uma possibilidade é analisar as derivadas parciais de segunda ordem de nestes pontos [outra possibilidade é descrita na solução da alínea (b)]. Temos Designando a matriz hessiana de por obtivemos Em ambos os casos estas matrizes são indefinidas (o seu determinante é ) pelo que estes pontos são pontos de sela.

   2. Seguindo a sugestão analisamos o sinal de . Nota-se que é o produto de dois factores polinomiais cujas regiões onde tomam valores positivos e negativos são fáceis de determinar. Com efeito o polinómio é positivo em , negativo em e nulo sobre a circunferência . O polinómio é positivo no semiplano , negativo no semiplano e nulo sobre a recta . Coligindo esta informação obtemos para o sinal de a situação sugerido no gráfico abaixo.

      

      Tal permite identificar dois conjuntos limitados e fechados tais que a aplicação do teorema de Weierstrass às restrições de a cada um desses conjuntos garante a existência de dois pontos de extremo local de . Com efeito, sejam Em temos e em temos . O teorema de Weierstrass aplicado às restrições de a e a garante a existência de um mínimo local de em e de um máximo local de em . Que não são extremos absolutos decorre, por exemplo, de e .

      [Nota 1: É possível não seguir a sugestão, determinando explicitamente dois pontos de estacionaridade sobre a recta (um em e outro em ) e justificar que se trata de pontos de extremo local via análise da matriz hessiana. Isto é no entanto muito mais trabalhoso.]

      [Nota 2: Em qualquer bola centrada em ou em há pontos em que a função toma valores positivos e pontos onde a função toma valores negativos valendo naqueles pontos. Esta observação fornece uma justificação alternativa para parte da alínea (a).]

5. Considere uma função , e definida por
   1. Relacione as matrizes jacobianas de e .
   2. Exprima em termos de derivadas parciais de num ponto adequado.
6. Justifique que a função definida por
     é integrável em .
7. Considere a  função definida por .
   1. Mostre que a equação define como uma função de e , , numa vizinhança de .
   2. Calcule .
8. Calcule, usando coordenadas esféricas,  
     em que com .

9. Seja . Calcule em que é “percorrida uma vez no sentido directo”.

   Solução

   Usando o teorema de Green

   Sendo a região simétrica em relação ao eixo dos s e a função integranda uma função de   ímpar, este último integral vale .

10. Considere o campo definido por

    1. Verifique que o campo é fechado.
    2. Calcule um integral de linha de sobre uma circunferência centrada em para mostrar que o campo não é conservativo em .
    3. Decida se o campo é ou não conservativo no semiplano definido por .
11. Decida se o conjunto definido por é ou não uma variedade diferenciável e, na afirmativa, determine a sua dimensão e o respectivo espaço normal em .
12. Calcule em que é a respectiva normal unitária contínua verificando e