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Teorema de Fubini

Cálculo Diferencial e Integral II
Taguspark,

IST

Ficha 6 — teoremas de Lagrange, da função inversa e da função implícita

  1. Mostre que a igualdade $\cos x + x + y^2 + \operatorname{sen}y = 1$ define $y$ como uma função $γ$ de classe $C^1$ de $x$ numa vizinhança de $0$, satisfazendo $γ(0) = 0$, e que tal função não tem um extremo local em $0$.
  2. Justifique que a equação $x+y^2+z^2+ e^{xyz}=2$ define implicitamente $z$ como uma função $h(x,y)$ numa vizinhança de $(x,y,z)=(0,0,1)$ e calcule $\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)$.
    Solução

    Seja $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ definida por $F(x,y,z)=x+y^2+z^2+ e^{xyz}-2$. Esta função é de classe $C^\infty(\mathbb{R}^3)$, $F(0,0,1)=0$ e a matriz jacobiana de $F$ é \[J_F(x,y,z)=\begin{bmatrix}1+yze^{xyz} & 2y+xze^{xyz} & 2z+xye^{xyz} \end{bmatrix}.\] Em particular, \[J_F(0,0,1)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\] e $\frac{\partial F}{\partial z}(0,0,1)=2\neq 0$, pelo que o teorema da função implícita permite afirmar que a equação define $z$ como uma função de $x$ e $y$, $h(x,y)$, para $(x,y,z)$ num vizinhança de $(0,0,1)$.

    Como $F(x,y,h((x,y))=0$ nessa vizinhança obtemos por diferenciação da igualdade anterior em ordem a $x$ \[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial h}{\partial x}=0\] donde \[\frac{\partial F}{\partial x}(0,0,1)+\frac{\partial F}{\partial z} (0,0,1)\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)=0\] e, substituindo os valores das derivadas parciais de $F$ já conhecidos, \[\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)=-1/2.\]

  3. Mostre que o sistema \[\begin{cases}u = e^x \log y, \\ v = e^y \log x \end{cases}\] define uma bijecção de uma vizinhança de $(1, 1)$ sobre uma vizinhança de $(0, 0)$ com uma inversa $\psi$ diferenciável e determine a derivada de $\psi$ em $(0, 0)$.
  4. Considere uma aplicação $\mathbb{R}^2\ni (x, y) \mapsto G(x, y) = (e^{x−y+x^4 y^4} , e^{ x+y+x^2 y^5} )$. Mostre que existe uma bola centrada em $(0, 0)$ em que esta aplicação é injectiva com inversa $C^1$ e, designando a inversa por $\theta$, determine $D\theta(1, 1)$.
  5. Considere a aplicação $F:\mathbb{R}^2\to$ definida por $F(x,y)=(\operatorname{sen}(x+y), \cos(x-y))$. Mostre que, para todo o $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ temos \[\|F(x,y)-F(0,0)\|\leq 2 \sqrt{x^2+y^2}.\]
    Solução

    Usando o teorema de Lagrange para funções escalares obtemos coordenada a coordenada, com $F=(F_1, F_2)$, \begin{align*} |F_1(x,y)-F_1(0,0)| & =\left|\operatorname{sen}(x+y)\right|  \leq \sup_{\theta\in {]0,1[}} \|\nabla F_1(\theta x, \theta y)\|\|(x,y)\| \\ & = \sup_{\theta\in {]0,1[}}\|(\cos(\theta x + \theta y), \cos(\theta x + \theta y))\|\sqrt{x^2+y^2}\\ & \leq \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2} \\ |F_2(x,y)-F_2(0,0)|  & = \left|\cos(x+y) - 1\right|  \leq \sup_{\theta\in {]0,1[}} \|\nabla F_2(\theta x, \theta y)\|\|(x,y)\| \\ & = \sup_{\theta\in {]0,1[}}\|(-\operatorname{sen}(\theta x - \theta y), \operatorname{sen}(\theta x - \theta y))\|\sqrt{x^2+y^2}\\ & \leq \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2} \end{align*} donde \[\left\|F(x,y)-F(0,0)\right\| \leq \left\|\left(\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}, \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}\right) \right\|= 2 \sqrt{x^2+y^2} \]

    Alternativamente pode usar-se uma das formas do teorema de Lagrange para funções vectoriais.

  6. Considere o sistema \[\begin{cases}\log(x+y+z+1)+e^x=1 \\ \log(x^2+y^2+z^2+1)+e^y+ e^z=2\end{cases}\]
    1. Mostre que o sistema define implicitamente $(x,y)$ como uma função $C^1$ de $z$, $(x, y) = \psi(z)$, numa vizinhança de $(0, 0, 0)$.
    2. Determine a derivada em $0$ da funçã0 $\psi$ cuja existência garantiu na alínea anterior.
    Solução
    1. Consideremos a função $F=(F_1,F_2)$, com\[\begin{cases}F_ 1(x,y,z)=\log(x+y+z+1)+e^x-1 \\ F_ 2(x,y,z)=\log(x^2+y^2+z^2+1)+e^y+ e^z-2\end{cases}\] Como facilmente se reconhece, $F(0,0,0)=0$, $F$ é $C^\infty$ e a matriz jacobiana de $F$ num ponto arbitrário $(x,y,z)$ do seu domínio vem \[J_F (x,y,z)=\begin{bmatrix}\frac{1}{x+y+z+1}+e^x&\frac{1}{x+y+z+1}&\frac{1}{x+y+z+1}\\\frac{2x}{x^2+y^2+z^2+1}&\frac{2y}{x^2+y^2+z^2+1}+e^y&\frac{2z}{x^2+y^2+z^2+1}+e^z\end{bmatrix}.\] Então,\[\det\frac{\partial (F_ 1,F_ 2)}{\partial(x,y)}(0,0,0)=\det \begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}=2,\] logo não nulo. O Teorema da Função Implícita garante a existẽncia de uma vizinhança $V$ de $0$ e de uma função $\psi:V\to\mathbb{R}^2$, $\psi(z)=(x,y)$ de classe $C^1$ e tal que $F(\psi_ 1(z), \psi_ 2(z), z)=(0,0).$
    2. A matriz jacobiana de $\psi$ no ponto $0$ vem \[\begin{bmatrix}\psi_1 '(0)\\ \psi'_2(0)\end{bmatrix}.\] Ora, recordando que $F(\psi_ 1(z), \psi_ 2(z), z)=(0,0)$, tem-se  \[\begin{cases}0 & =\dfrac{d}{dz}[F_1(\psi_ 1(z), \psi_2(z), z)] \\ & =\dfrac{\partial F_1}{\partial x}(\psi_ 1(z), \psi_ 2(z), z)\,\psi'_ 1(z)+\dfrac{\partial F_1}{\partial y}(\psi_1(z), \psi_2(z), z)\,\psi'_2(z)+\dfrac{\partial F_1}{\partial z}(\psi_1(z), \psi_ 2(z), z)\\ 0 & =\dfrac{d}{dz}[F_2(\psi_ 1(z), \psi_ 2(z), z)] \\ & =\dfrac{\partial F_ 2}{\partial x}(\psi_ 1(z), \psi_2(z), z)\,\psi'_ 1(z)+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}(\psi_1(z), \psi_2(z), z)\,\psi'_2(z)+\dfrac{\partial F_2}{\partial z}(\psi_1(z), \psi_2(z), z)\end{cases}\] e, no ponto $(0,0,0)$, \[\begin{cases}0 & =2\psi'_ 1(0)+\psi'_2(0)+1\\ 0 & =\psi'_2(0)+1\end{cases}.\] Obtém-se $\psi'_ 1(0)=0$ e $\psi'_ 2(0)=-1,$ e, assim, $\psi'(0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ é dada por $\psi'(0)(t)=(0,-t),$ para todo o $t\in\mathbb{R}$.
  7. Considere uma função $\varphi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ verificando $\varphi\in C^2(\mathbb{R}^2)$. Seja $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ tal que \begin{gather*}\varphi(x_0,y_0)=0\\ \frac{\partial\varphi}{\partial x}(x_0,y_0)=0 \\ \frac{\partial\varphi}{\partial y}(x_0,y_0)\gt 0 \\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}(x_0,y_0)\lt 0\end{gather*} Mostre que a equação $\varphi(x,y)=0$ define implicitamente uma função $y=h(x)$ numa vizinhança de $x_0$ e que essa função tem um mínimo local em $x_0$.

Última actualização: João Palhoto Matos em 26/04/2016 15:40:13.