Conteúdo

Teorema de Fubini

Cálculo Diferencial e Integral II
Taguspark,

IST

Texto do curso

O texto ficou essencialmente completo em Setembro de 2015. Em 2015/16 foi revisto ao nível do pormenor e foi incluído algum material adicional. Aconselha-se sempre a consultar o texto a partir das páginas relativas ao semestre mais no futuro que estiver disponível de maneira a ter a garantia de acesso às últimas alterações.

Alterações ao texto em 2016/17 serão com certeza em pequena quantidade. Alterações mais importantes serão realizadas no material de apoio: exercícios e possivelmente fichas electrónicas.

Nota sobre impressão

Para imprimir uma página do texto há que ter em atenção dois pontos:

  • Tem que se aguardar que todas as fórmulas fiquem visualizadas.
  • Se se pretender imprimir as secções marcadas com Mais detalhes ou similar dever-se-á expandir estas previamente.

Para alunos

O curso está dividido em páginas, cada página deverá ser acessível de um menu.

Salientam-se alguns pontos importantes em termos de organização:

  • Uma página pode corresponder ou não a uma aula leccionada. Cada página tenta isolar um tópico o que provavelmente faz corresponder uma página a algo entre uma parte de uma aula e duas aulas.
  • Haverá sempre material que é mencionado na aula que não é mencionado no texto e vice-versa.
  • O autor do texto não pretende saber qual o nível de detalhe adequado para cada aluno ou a profundidade com que cada aluno pretende conhecer Matemática. Há secções colapsadas no texto com a indicação Mais detalhes ou similar que em primeira leitura podem ser omitidas. Tem-se obviamente esperança que os alunos sejam curiosos.
  • Este sítio web pretende usar o "estado da arte" no que toca à apresentação de matemática e gráficos na web. Isto pode ter consequências em termos de instabilidade do código usado. Para reportar problemas técnicos ou matemáticos contacte joao.palhoto@tecnico.ulisboa.pt.
  • Lidar com fórmulas, algumas bastante compridas, de maneira a serem legíveis num écrã de um smartphone, não é trivial. Mesmo assim o curso deve ser relativamente legível num smartphone ao baixo. Existe no menu contextual uma opção experimental para colapsar partes de fórmulas.
  • O texto não foi planeado tendo como primeira prioridade ser impresso. Em particular, numa versão impressa perde-se a funcionalidade das hiperligações e não existe numeração de exercícios, resultados ou secções que forneça essa funcionalidade da forma tradicional.
  • Algumas animações produzidas com sage e jmol foram incluídas. O tempo de arranque da animação pode ser de algumas dezenas de segundos. Todas as animações foram convertidas para não arrancarem automaticamente, sendo preciso clicar um botão para que tal aconteça.
  • O texto está escrito de acordo com a ortografia portuguesa pré acordo ortográfico de 1990. O autor considera que matemática é algo que pretende ser rigoroso e ensiná-la recorrendo a uma variante ortográfica menos precisa não se coaduna com esse objectivo.

Para começar a ler o texto propriamente dito prima o item $\mathbb{R}^n$ no menu.

Para matemáticos

Pressupostos

O autor acredita que o livro de texto de Matemática, tal como praticado no século XX, está moribundo, pelo menos no que toca aos textos usados para cursos introdutórios de Cálculo Infinitesimal a nível universitário. A maioria destes caracteriza-se por um número disparatadamente alto de páginas que implica uma grande confusão sobre o que é essencial e o que é acessório, uma quantidade absurda de exercícios repetitivos e uma falta de originalidade que é corolário de se tratar um assunto cujo estudo a este nível estabilizou no último século. De facto, o número de textos impressos distintos deste género só parece justificar-se por razões económicas ou curriculares.

Apesar do aviso do parágrafo anterior sobre falta de originalidade ser também aplicável a este texto, a sua forma tem no entanto algumas características menos vulgares:

  • O estudo da integração em $\mathbb{R}^n$ em coordenadas cartesianas é feito o mais cedo possível, antes mesmo do estudo da continuidade e diferenciabilidade. Tal tem como objectivo tentar dar a possibilidade ao aluno de se adaptar rapidamente às questões de natureza geométrica em $\mathbb{R}^n$ com $n\gt 2$. Pretende-se que a determinação de limites de integração em $\mathbb{R}^3$ em coordenadas cartesianas tenha um papel importante no habituar do aluno a raciocinar fora de um contexto unidimensional. A fórmula de mudança de variáveis na integração só aparece posteriormente num momento bastante tradicional.
  • A questão de estabelecer quais as funções integráveis no sentido de Riemann é adiada mas não iludida até ao estudo do teorema de Heine-Cantor. Privilegia-se a noção de oscilação de uma função num ponto de maneira a reforçar a ligação ao critério de integrabilidade de Lebesgue.
  • Questões de inadequação do integral de Riemann à integração sobre variedades não são totalmente ignoradas mas também não são resolvidas.

O facto de um livro ser impresso costumava ser um imprimatur relativamente à qualidade do texto. Numerosos exemplos mostram que tal não é verdade. Este sítio é uma tentativa para mostrar que é possível não comprometer a qualidade matemática, informática e gráfica que deve ser exigida a um texto de apoio a um curso universitário quando se utilizam as tecnologias da web.

Licença

O Texto do Curso é disponibilizado nas condições da licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional. O autor considera que esta licença permite a usual redistribuição impressa por Associações de Estudantes.

Agradecimentos

Este trabalho não teria sido possível sem a existência da maioria dos projectos de código aberto mencionados na página https://math.tecnico.ulisboa.pt/about e, adicionalmente, sage e jmol. Em particular o autor agradece a rapidez de resposta em caso de problemas, medida geralmente em poucos dias e, às vezes, em minutos.

Não agradecimentos

O facto de nestas páginas se conseguir reproduzir em tempo real os sumários introduzidos no sistema fénix é possível apesar da péssima qualidade dos dados fornecidos pelos feeds RSS do mesmo sistema. Recomenda-se a leitura http://www.disobey.com/detergent/2002/extendingrss2/ em vez da prática de martelar conteúdo semanticamente irrelevante em campos criados para outros fins.

Anomalias

Para reportar anomalias nestas páginas relativas a matemática, português, formatação ou programação, use email.

Problemas conhecidos

  • Depois de se rolar a página os itens do menu de semestre poderão aparecer separados ou sobrepostos ao menu. Aparentemente só ocorre em Firefox. Trata-se deste bug.
  • Garantir a visibilidade de vídeos feitos para HTML 5 ainda é uma arte e não uma ciência dependente por vezes do hardware específico em que se tenta vê-los. Agradece-se a comunicação detalhada por email de problemas a este respeito.
  • Em smartphones ao alto haverá fórmulas que não cabem na largura da página e outras que serão mal quebradas. Rodar para posição ao baixo deverá resolver quase todos estes casos. Se a sugestão anterior não resolve completamente o problema reporte-o por email. Poderão estar instaladas opções que colapsam automaticamente partes de equações que podem ser expandidas. Esta última funcionalidade deve ser considerada como experimental.

Estas páginas não são testadas em sistemas operativos Apple pelo que reporte de anomalias nesse contexto será muito bem vindo.


Última actualização: João Palhoto Matos em 04/06/2017 09:16:41.