Conteúdo

Teorema de Fubini

Cálculo Diferencial e Integral II
Taguspark,

IST

Texto do curso

O texto ficou essencialmente completo em Setembro de 2015. Posteriormente foi revisto ao nível do pormenor e foi incluído algum material adicional. Aconselha-se sempre a consultar o texto a partir das páginas relativas ao semestre mais no futuro que estiver disponível de maneira a ter a garantia de acesso às últimas alterações.

O material de apoio, nomeadamente exercícios, continua a ser expandido.

Nota sobre impressão

Para imprimir uma página do texto há que ter em atenção dois pontos:

  • Tem que se aguardar que todas as fórmulas fiquem visualizadas.
  • Se se pretender imprimir as secções marcadas com Mais detalhes ou similar dever-se-á expandir estas previamente.

Para alunos

O curso está dividido em páginas, cada página deverá ser acessível de um menu.

Salientam-se alguns pontos importantes em termos de organização:

  • Uma página pode corresponder ou não a uma aula leccionada. Cada página tenta isolar um tópico o que provavelmente faz corresponder uma página a algo entre uma parte de uma aula e duas aulas.
  • Haverá sempre material que é mencionado na aula que não é mencionado no texto e vice-versa.
  • O autor do texto não pretende saber qual o nível de detalhe adequado para cada aluno ou a profundidade com que cada aluno pretende conhecer Matemática. Há secções colapsadas no texto com a indicação Mais detalhes ou similar que em primeira leitura podem ser omitidas. Tem-se obviamente esperança que os alunos sejam curiosos.
  • Este sítio web pretende usar o "estado da arte" no que toca à apresentação de matemática e gráficos na web. Isto pode ter consequências em termos de instabilidade do código usado. Para reportar problemas técnicos ou matemáticos contacte joao.palhoto@tecnico.ulisboa.pt.
  • Lidar com fórmulas, algumas bastante compridas, de maneira a serem legíveis num écrã de um smartphone, não é trivial. Mesmo assim o curso deve ser relativamente legível num smartphone ao baixo. Existe no menu contextual uma opção experimental para colapsar partes de fórmulas.
  • O texto não foi planeado tendo como primeira prioridade ser impresso. Em particular, numa versão impressa perde-se a funcionalidade das hiperligações e não existe numeração de exercícios, resultados ou secções que forneça essa funcionalidade da forma tradicional.
  • Algumas animações produzidas com sage e jmol foram incluídas. O tempo de arranque da animação pode ser de algumas dezenas de segundos. Todas as animações foram convertidas para não arrancarem automaticamente, sendo preciso clicar um botão para que tal aconteça.
  • O texto está escrito de acordo com a ortografia portuguesa pré acordo ortográfico de 1990. O autor considera que matemática é algo que pretende ser rigoroso e ensiná-la recorrendo a uma variante ortográfica menos precisa não se coaduna com esse objectivo.

Para começar a ler o texto propriamente dito prima o item $\mathbb{R}^n$ no menu.

Para matemáticos

Pressupostos

O autor acredita que o livro de texto de Matemática, tal como praticado no século XX, está moribundo, pelo menos no que toca aos textos usados para cursos introdutórios de Cálculo Infinitesimal a nível universitário. A maioria destes caracteriza-se por um número disparatadamente alto de páginas que implica uma grande confusão sobre o que é essencial e o que é acessório, uma quantidade absurda de exercícios repetitivos e uma falta de originalidade que é corolário de se tratar um assunto cujo estudo a este nível estabilizou no último século. De facto, o número de textos impressos distintos deste género só parece justificar-se por razões económicas ou curriculares.

Apesar do aviso do parágrafo anterior sobre falta de originalidade ser também aplicável a este texto, a sua forma tem no entanto algumas características menos vulgares:

  • O estudo da integração em $\mathbb{R}^n$ em coordenadas cartesianas é feito o mais cedo possível, antes mesmo do estudo da continuidade e diferenciabilidade. Tal tem como objectivo tentar dar a possibilidade ao aluno de se adaptar rapidamente às questões de natureza geométrica em $\mathbb{R}^n$ com $n\gt 2$. Pretende-se que a determinação de limites de integração em $\mathbb{R}^3$ em coordenadas cartesianas tenha um papel importante no habituar do aluno a raciocinar fora de um contexto unidimensional. A fórmula de mudança de variáveis na integração só aparece posteriormente num momento bastante tradicional.
  • A questão de estabelecer quais as funções integráveis no sentido de Riemann é adiada mas não iludida até ao estudo do teorema de Heine-Cantor. Privilegia-se a noção de oscilação de uma função num ponto de maneira a reforçar a ligação ao critério de integrabilidade de Lebesgue.
  • Questões de inadequação do integral de Riemann à integração sobre variedades não são totalmente ignoradas mas também não são resolvidas.

O facto de um livro ser impresso costumava ser um imprimatur relativamente à qualidade do texto. Numerosos exemplos mostram que tal não é verdade. Este sítio é uma tentativa para mostrar que é possível não comprometer a qualidade matemática, informática e gráfica que deve ser exigida a um texto de apoio a um curso universitário quando se utilizam as tecnologias da web.

Licença

O Texto do Curso é disponibilizado nas condições da licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional. O autor considera que esta licença permite a usual redistribuição impressa por Associações de Estudantes.

Agradecimentos

Este trabalho não teria sido possível sem a existência da maioria dos projectos de código aberto mencionados na página https://math.tecnico.ulisboa.pt/about e, adicionalmente, sage e jmol. Em particular o autor agradece a rapidez de resposta em caso de problemas, medida geralmente em poucos dias e, às vezes, em minutos.

Não agradecimentos

O facto de nestas páginas se conseguir reproduzir em tempo real os sumários introduzidos no sistema fénix é possível apesar da péssima qualidade dos dados fornecidos pelos feeds RSS do mesmo sistema. Recomenda-se a leitura http://www.disobey.com/detergent/2002/extendingrss2/ em vez da prática de martelar conteúdo semanticamente irrelevante em campos criados para outros fins.

Anomalias

Para reportar anomalias nestas páginas relativas a matemática, português, formatação ou programação, use email.

Problemas conhecidos

  • Em smartphones ao alto haverá fórmulas que não cabem na largura da página e outras que serão mal quebradas. Rodar para posição ao baixo deverá resolver quase todos estes casos. Se a sugestão anterior não resolve completamente o problema reporte-o por email. Poderão estar instaladas opções que colapsam automaticamente partes de equações que podem ser expandidas. Esta última funcionalidade deve ser considerada como experimental.
  • Estas páginas não são testadas em sistemas operativos Apple e, em particular, no navegador Safari, pelo que reporte de anomalias nesse contexto será muito bem vindo. Sugere-se instalar Firefox ou Chrome se tal acontecer e uma solução não for encontrada.
  • Há uma anomalia de espaçamento para certos tipos raros de equações.
  • Depois de se rolar a página os itens do menu de semestre poderão aparecer separados ou sobrepostos ao menu. Aparentemente só ocorre em Firefox, mas só para certas versões de Firefox ou sistema operativo. Trata-se deste bug.
  • Calendários de escolha de data em Firefox 57ou posterior localizado para português aparecem formatados incorrectamente. Trata-se deste bug

Última actualização: João Palhoto Matos em 17/11/2017 07:29:28.