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Cálculo Diferencial e Integral II

IST

Texto do curso

O texto ficou essencialmente completo em Setembro de 2015. Posteriormente foi revisto ao nível do pormenor e foi incluído algum material adicional. Aconselha-se sempre a consultar o texto a partir das páginas relativas ao semestre mais no futuro que estiver disponível de maneira a ter a garantia de acesso às últimas alterações.

O material de apoio, nomeadamente exercícios, continua a ser expandido.

Nota sobre impressão

Para imprimir uma página do texto há que ter em atenção dois pontos:

  • Tem que se aguardar que todas as fórmulas fiquem visualizadas.
  • Se se pretender imprimir as secções marcadas com Mais detalhes ou similar dever-se-á expandir estas previamente.

Para alunos

O curso está dividido em páginas, cada página deverá ser acessível de um item do menu.

Salientam-se alguns pontos importantes em termos de organização:

  • Uma página pode corresponder ou não a uma aula leccionada. Cada página tenta isolar um tópico o que provavelmente faz corresponder uma página a algo entre uma parte de uma aula e duas aulas.
  • Haverá sempre material que é mencionado na aula que não é mencionado no texto e vice-versa.
  • O autor do texto não pretende saber qual o nível de detalhe adequado para cada aluno ou a profundidade com que cada aluno pretende conhecer Matemática. Há secções colapsadas no texto com a indicação Mais detalhes ou similar que em primeira leitura podem ser omitidas. Tem-se obviamente esperança que alguns alunos sejam curiosos.
  • Este sítio web pretende usar o "estado da arte" no que toca à apresentação de matemática e gráficos na web. Isto pode ter consequências em termos de instabilidade do código usado. Para reportar problemas técnicos ou matemáticos contacte joao.palhoto@tecnico.ulisboa.pt.
  • Lidar com fórmulas, algumas bastante compridas, de maneira a serem legíveis num écrã de um smartphone, não é trivial. Mesmo assim o curso deve ser relativamente legível num smartphone ao baixo. Pode estar disponível no menu contextual uma opção experimental para colapsar partes de fórmulas.
  • O texto não foi planeado tendo como primeira prioridade ser impresso. Em particular, numa versão impressa perde-se a funcionalidade das hiperligações e não existe numeração de exercícios, resultados ou secções que forneça essa funcionalidade da forma tradicional.
  • Algumas animações produzidas com sage e jmol foram incluídas. O tempo de arranque da animação pode ser de algumas dezenas de segundos. Todas as animações foram convertidas para não arrancarem automaticamente, sendo preciso clicar um botão para que tal aconteça. Na medida do possível estas animações irão sendo substituídas por outras realizadas com sage e three.js.
  • O texto está escrito de acordo com a ortografia portuguesa pré acordo ortográfico de 1990. O autor considera que matemática é algo que pretende ser rigoroso e ensiná-la recorrendo a uma variante ortográfica menos precisa não se coaduna com esse objectivo.

Para começar a ler o texto propriamente dito prima o item $\mathbb{R}^n$ no menu.

Para matemáticos

Pressupostos

O autor acredita que o livro de texto de Matemática, tal como praticado no século XX, está moribundo, pelo menos no que toca aos textos usados para cursos introdutórios de Cálculo Infinitesimal a nível universitário. A maioria destes caracteriza-se por um número disparatadamente alto de páginas que implica uma grande confusão sobre o que é essencial e o que é acessório, uma quantidade absurda de exercícios repetitivos e uma falta de originalidade que é corolário de se tratar um assunto cujo estudo a este nível estabilizou no último século. De facto, o número de textos impressos distintos deste género só parece justificar-se por razões económicas ou curriculares.

Apesar do aviso do parágrafo anterior sobre falta de originalidade ser também aplicável a este texto, a sua forma tem no entanto algumas características menos vulgares:

  • O estudo da integração em $\mathbb{R}^n$ em coordenadas cartesianas é feito o mais cedo possível, antes mesmo do estudo da continuidade e diferenciabilidade. Tal tem como objectivo tentar dar a possibilidade ao aluno de se adaptar rapidamente às questões de natureza geométrica em $\mathbb{R}^n$ com $n\gt 2$. Pretende-se que a determinação de limites de integração em $\mathbb{R}^3$ em coordenadas cartesianas tenha um papel importante no habituar do aluno a raciocinar fora de um contexto unidimensional. A fórmula de mudança de variáveis na integração só aparece posteriormente num momento bastante tradicional.
  • A questão de estabelecer quais as funções integráveis no sentido de Riemann é adiada mas não iludida até ao estudo do teorema de Heine-Cantor. Privilegia-se a noção de oscilação de uma função num ponto de maneira a reforçar a ligação ao critério de integrabilidade de Lebesgue.
  • Questões de inadequação do integral de Riemann à integração sobre variedades não são totalmente ignoradas mas também não são resolvidas.

O facto de um livro ser impresso costumava ser um imprimatur relativamente à qualidade do texto. Numerosos exemplos mostram que tal não é verdade. Este sítio é uma tentativa para mostrar que é possível não comprometer a qualidade matemática, informática e gráfica que deve ser exigida a um texto de apoio a um curso universitário quando se utilizam as tecnologias da web. Tal é feito com a consciência de que atinge um nível preocupante, infelizmente até no Instituto Superior Técnico, a difusão da falácia pedagógica de que a proliferação de conteúdo matemático e físico na web permite aos estudantes fazer um bypass a aulas de carácter expositório de Matemática ou Física o que tornaria possível uma redução drástica das cargas lectivas destas áreas. Para compreender uma contra argumentação trivial a tal raciocínio basta lembrar a expressão fake news, algo que os paladinos da bondade natural da web também não previram. A reestruturação curricular de 2006 no Instituto Superior Técnico em resposta às políticas da declaração de Bolonha já enfermava desses propósitos e, embora sucessivos comentários de alunos delegados de curso exprimam ao longo dos anos a frustração dos alunos com a duração das aulas de problemas de disciplinas como esta, aparentemente prepara-se uma nova reestruturação curricular nos mesmos moldes.

Licença

O Texto do Curso é disponibilizado nas condições da licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional. O autor considera que esta licença permite a usual redistribuição impressa por Associações de Estudantes.

Agradecimentos

Este trabalho não teria sido possível sem a existência da maioria dos projectos de código aberto mencionados na página https://math.tecnico.ulisboa.pt/about e, adicionalmente, sage e jmol. Em particular o autor agradece a rapidez de resposta em caso de problemas, medida geralmente em poucos dias e, às vezes, em minutos.

Não agradecimentos

O facto de nestas páginas se conseguir reproduzir em tempo real os sumários introduzidos no sistema fénix é possível apesar da péssima qualidade dos dados fornecidos pelos feeds RSS do mesmo sistema. Recomenda-se a leitura de http://www.disobey.com/detergent/2002/extendingrss2/ em vez da prática de martelar conteúdo semanticamente irrelevante em campos criados para outros fins.

Anomalias

Para reportar anomalias nestas páginas relativas a matemática, português, formatação ou programação, use email.

Problemas conhecidos

  • Em smartphones ao alto haverá fórmulas que não cabem na largura da página e outras que serão mal quebradas. Rodar para posição ao baixo deverá resolver quase todos estes casos. Se a sugestão anterior não resolve completamente o problema reporte-o por email. Poderão estar instaladas opções que colapsam automaticamente partes de equações que podem ser expandidas. Esta última funcionalidade deve ser considerada como experimental.
  • Estas páginas não são testadas em sistemas operativos Apple e, em particular, no navegador Safari, pelo que reporte de anomalias nesse contexto será muito bem vindo. Sugere-se instalar Firefox ou Chrome se tal acontecer e uma solução não for encontrada.

Alterações em curso

MathJax foi actualizado para a versão 3.0.1 e as animações produzidas com sage ≤ 8.7 e jsmol passarão a ser produzidas com sage ≥ 9.0 e three.js. Infelizmente há algumas animações para os quais three.js sofre de limitações.

Exemplo de animação $3d$ obtida com Sage 9 (beta) e three.js para o parabolóide $z=x^2+y^2$.

Futuro mais distante

O Instituto Superior Técnico prepara uma reestruturação curricular em que uma disciplina com as características de CDI-II deixará de existir sendo os seus tópicos distribuídos por duas disciplinas, provavelmente no ano lectivo 2020/21. Quando isso acontecer este sítio web desaparecerá. O seu conteúdo no que toca a Matemática ficará disponibilizado a partir de um serviço como Digital Ocean ou similar durante alguns anos. Alguma pouca informação ainda pertinente será colocada no sistema fénix.


Última edição desta versão: João Palhoto Matos em 18/02/2020 14:39:02.